ESFUERZOS NORMAL Y CORTANTE COMBINADOS - Ejemplo - Resultado Part II

Paso 4 . En sección B. el par de torsión en la flecha es da 0 298 kNm yol momento flexionante de 1.06 kNm. Por tanto:

Paso 8. En el apéndice A 13 so ve que se podrían usar variaciones. Por ejemplo: el acero AISl 1Q40 estado frio tiene una resistencia a la cedencia de 490 Mpa. La aleación AISl 1141 OOT1300 tiene una resistencia a la cedencia de 469 MPa y también una excelente ductilidad, indicada por su 28% de alargamiento. Cualquiera de éstas sería una opción razonable.

ESFUERZOS NORMAL Y CORTANTE COMBINADOS - Ejemplo - Resultado Part I

Paso 1 La unidad deseable para el par de torsión es en Nm. En tal caso es muy conveniente observar que la unidad de potencias de kilowats es equivalente a la unidades de KN ms. Así mismo, la velocidad de rotación debe expresarse en rads

Equilibrio, el par de torsión en las dos ruedan dentadas debe tener la misma magnitud pero dirección opuesta, En una u otra rueda el par do torsión es el producto do la tuerca en la cadena por el radio de la polea, Es decir:

Paso 3. La figura 11-10 muestra los diagramas completos de cortante y momento flexionante determinados con los métodos del capitulo 6, El momento flexionante máximo es de 1.06 kN m en la sección B donde se localiza una de las ruedas dentadas.

ESFUERZOS NORMAL Y CORTANTE COMBINADOS - Ejemplo

Ejemplo especifique un material adeacuado para la felcha mostrada en la figura 11-7. La flecha tiene un diametro uniforme de 55mm y gura a 120 rmp al mismo tiempo que transmite 3.75 kW de potencia. Las ruedas dentadas B y C se montan en la flecha por medio de cuñas. La rueda dentada C recibo la potencia y la B la entrega a otra flecha A y D funcionan como apoyos simples para la flecha 

Objetivo Especificar un materia! adecuado para la flecha

Datos

La flecha y tas cargas mostradas en la figura 11-7
Potencia = P - 3,75 k W, Velocidad de rotación = n = 120 rpm
Diámetro de la flecha = 0 = 55 mm,
Cúñenos en B y C,
Apoyos simples en A y D.

Concentraciones do esfuerzo

En flechas, las concentraciones de esfuerzo se crean por los cambios repentinos de geometría, tales como cuneros, hombros y ranuras. Véase el apéndice A-21 donde se dan valores dc factores de concentración de esfuerzo. La aplicación apropiada de factores de concentración de esfuerzo a las ecuaciones (11- 4) y (11-5) de par de torsión equivalente se debe considerar con cuidado. Sí el valor de K, en una sección de interés es igual tanto a flexión como a torsión, entonces se puede aplicar directamente a la ecuación (11-5). Es decir:

Entonces la ecuación 11-5 se puede usar de manera directa para calcular el esfuerzo cortante maximo

Par de torsión equivalente. - III

en donde es !a resistencia a la cedencia del material sometido a cortante. Como S rara vez se conoce, se puede usar el valor aproximado determinado con S y4 = S y/2 . Por tanto:

en donde Sy, es la resistencia a la cedencia a tensión, tal como se reporta en la mayoría de las tablas de propiedades de materiales, como las de tos apéndices A-13 a A-17. Se recomienda que el valor del factor de diseño no sea menor que 4. Una flecha giratoria sometida a flexión es un buen ejemplo de una carga repetida e invertida. Con cada revolución dc la flecha, un punto particular de la superficie se somete al esfuerzo de tensión máximo y luego al esfuerzo de compresión máximo. Así pues, la fatíga es el modo dc falla esperado, y se recomienda N = 4 o mayor, basado en la resistencia a la cedencia

Par de torsión equivalente. - II

En ocasiones el término  se denomina par de torsión equivalente par de torsión equivalente por que representa la cantidad dc par de torsión que se tendría que aplicar la flecha para un esfuerzo cortante de magnitud equivalente a la combinación dc flexión y torsión Si este par de torsión equivalente se designa como T;

Figura 11- 9 Distribución del esfuerzo cortante en una flecha circular

y

Las ecuaciones 11 – 4 y 11 – 5 simplifican en gran medida el cálculo del esfuerzo cortante máximo en una flecha circular sometida a flexion y torsión, se puede especificar un esfuerzo de diseño dando esfuerzo cortante máximo permisible. Esto se hizo en:

Par de torsión equivalente. - I

La ecuación (11-2) se puede expresar en una forma simplificada para el caso particular dc una flecha circular sometida flexión y torsión. Si se evalúa el esfuerzo flexionante por separado, el esfuerzo máximo de tensión o compresión seria:

El esfuerzo máximo producido por flexión ocurre en la superficie externa de la flecha, como se muestra en la figura 11 Ahora, considérese el esfuerzo cortante torsional por separado. En el capitulo 5 se derivó la ecuación del esfuerzo cortante torsional:

El esfuerzo cortante máximo ocurre en la superficie externa de la fecha de toda la circunferencia, como se muestra en la figura 11 -19 Así pues el esfuerzo de tensión máximo y el esfuerzo cortante torsional ocurren en el mismo punto de la Hecha. Ahora utilícese la ecuación 11-2 para obtener una expresión para el esfuerzo combinado en función del momento flexionante de torsión Ty el diámetro externo D

Teoría de falla del máximo esfuerzo cortante.

Cuando el esfuerzo de tensión a compresión provocado por flexión ocurre en el mismo lugar donde ocurre un esfuerzo

Cortante, las dos clases de esfuerzo se combinan para producir un esfuerzo cortante de mayor magnitud. El esfuerzo máximo se calcula con:

En la ecuación (11 2), ase refiere a la magnitud del esfuerzo de tensión o compresión en un punto, y res el esfuerzo cortante en el mismo punto. El resultado T max es el esfuerzo cortante máximo en el punto, ni fundamento de la ecuación Se demostró con el circulo de Mohr en la sección 10-12. 

La teoría de falla del esfuerzo cortante máximo establece que un miembro falla cuando el esfuerzo cortante máximo excede la resistencia a la cedencía del material a cortante. Esta teoría de falla guarda una buena correlación con los resultados dc prueba dc metales dúctiles como la mayoría de los aceros.

ESFUERZOS NORMAL Y CORTANTE COMBINADOS

Las flechas giratorias de máquinas transmisoras de potencia son buenos ejemplos de miembros cargados de tal modo que producen flexión y torsión combinadas. La figura 11-7 muestra una flecha con dos ruedas dentadas para cadena. La potencia se transforma a la flecha por medio de la rueda en C y hacia abajo de aquella hasta la rueda en B, la que, a su vez, la transmite a otra flecha. 

Porque está transmitiendo potencia, la flecha entre B y C soporta un par de torsión y un esfuerzo cortante torsional Para que las ruedas dentadas transmitan torsión, deben ser arrastradas por un lado cadena. En C. el lado trasero de la cadena debe tirar hacia abajo con la fuerza F para impulsar la rueda dentada en sentido horario. Como la rueda dentada en B acción a otra rueda dentada, el lado delantero de la cadena estaría a tensión por la acción de la fuerza Las dos fuerzas, F, y F2 que actúan dirigidas hacia abajo, provocan flexión de la flecha. Por eso, la Hecha se debe analizar tanto con respecto a esfuerzo cortante torsional como con respecto a esfuerzo flexionante. fin tal caso, como ambos «fuerza jamar el mismo lugar de la flecha, se tiene que determinar su efecto combinado el método de análisis que se va a utilizar se llama teoría de falla del esfuerzo cortante máximo, la cual se describe a continuación. Luego se presentarán presentarán algunos ejemplos.

Instrucciones para resolver problemas con esfuerzos normales combinados - Ejemplo 2 - Resultados Part II

Paso 6. El esfuerzo flexionante ob produce esfuerzo de compresión en la cara derecha del tubo y tensan en la cara izquierda, Puesto que el esfuerzo de compresión directo se suma al esfuerza flexionante en la cara derecha, es decir, donde ocurriría el esfuerzo máximo. El esfuerzo combinado seria entonces:

Paso 7 El factor de diseño basado en la resistencia a la cadencia es;

Instrucciones para resolver problemas con esfuerzos normales combinados - Ejemplo 2 - Resultados Part I

Resultados 
Paso 1.La figura 11-6mucslra el diagrama de cuerpo libre La fuerza es la atracción gravitacíonal de la masa de 135 Kg

Paso 2 No actúan fuerzas inclinadas con respecto al eje del tubo Paso 3. Ahora bien, el esfuerzo de compresión axial directo en el tubo es:

por lo tanto

Este esfuerzo os un esfuerzo de compresión uniforme en cualquier sección transversal del tubo Paso 4. No actúan fuerzas perpendiculares al eje del tubo. Paso 5. Como la fuerza actúa a 1. 1 m del eje del tubo, el momento es:

El cálculo del esfuerzo flexionante requiere la aplicación de la fórmula de flexión;

Instrucciones para resolver problemas con esfuerzos normales combinados - Ejemplo 2 - solución

Solución 

Objetivo Calcular el esfuerzo máximo en el tubo de la figura 11-5 y el factor de diseño basado tanto en la resistencia a IB cedonda como en la resistencia última 

Datos: La carga y las dimensiones del tubo mostradas en la figura 11-5. La carga es la fuerza producida por una masa de 135 kg en la orilla de la mesa el tubo es de aluminio 6061 – T4 Sy= 145Mpa; Sw = 241 MPa

Análisis El tubo se encuentra sometido a una flexion y comprensión directa combinadas como se ilustra en la figura 11-6, el diagrama de cuerpo libre del turbo. El efecto de la carga es producir una fuerza dirigida hacia abajo en el extremo superior del tubo al mismo tiempo que ejerce un momento en sentido horario. El momento es el producto de la carga por el radio de la mesa. La reacción en el extremo inferior del tubo, creada por el creto, es una fuerza dirigida hacia arriba, combinada con un momento de sentido antihorario. Siga las instrucciones para resolver problemas con esfuerzos normales combinados.

Instrucciones para resolver problemas con esfuerzos normales combinados - Ejemplo 2

Una mesa de jardín consiste en una tabla circular montada sobre un tubo firmemente empotrado en el suelo por medio de concreto La figura 11-5 muestra la mesa. Calcule el esfuerzo máximo en el tubo cuando una persona de 135 Kg de masa se sienta en la orilla de la mesa. El tubo es de aleación de aluminio de 170 mm de diámetro externo y 163 mm de diámetro interno. Si el aluminio es el 6061-T4. calcule el factor de diseño resultante basado tanto en la resistencia a la cedencia como en la resistencia última. En seguida comento sóbrela conveniencia del diseño

FIGURA 11-5 Mesa di jardín soportada por un tubo

Instrucciones para resolver problemas con esfuerzos normales combinados - Ejemplo 1 - Resultados Par II

Paso 6. Se puede concluir que el esfuerzo máximo combinado ocurre en la cara superior de la viga en el apoyo, porque tanto el esfuerzo de tensión directo, calculado en el paso 3, como el esfuerzo flexionanle, calculado en el paso 4, provocan tensión en dichos puntos. 

Por consiguiente, se sumarán Por superposición:

Por comparación, el esfuerzo combinado en la cara inferior de la viga es:

La figura 11-4 muestra un juego de diagramas que ilustran el proceso de superposición. La parte (a) corresponde esfuerzo en la viga provocado por flexión, la parte muestra el esfuerzo do tensión directo provocado por F, La parte (c) muestra la distribución del esfuerzo combinado.

Peso 7. Como carga os estática, el factor de diserto se calcula con base en la resistencia a la cedencia de la aleación de aluminio 6061 – T6, en donde Sy= 40 000 lb/ plg2. Por lo tanto

Comentario. Este debe ser adecuado por carga estática pura. Si existe incertidumbre con respecto a la magnitud de la carga o si existe la posibilidad de que la carga se aplique con choque o impacto, se preferiría un factor de diseño mayor

Instrucciones para resolver problemas con esfuerzos normales combinados - Ejemplo 1 - Resultados Par I

Resultados 

Paso 1. La figura 11-3 muestra el diagrama de cuerpo libre do una viga con la fuerza de 10 000 lb apireada por el cable al extremo de la viga. La reacción en el extremo izquierdo, donde la viga está firmemente unida a la columna, se compone de una fuerza de reacción vertical, una fuerza de reacción horizontal y un momento de sentido antihorario.

Paso 2. En la figura 11-3 también se muestra la descomposición de la fuerza de 10 000 fb en sus componentes vertical y horizontal donde Fy = 5000 Ib 8660 Ib 

Paso 3. La fuerza horizontal, actúa en una dirección que coincide con el eje neutro de la viga Por consiguiente, provoca esfuerzo de tensión d-recto con una magnitud de

Paso 4. Lo fuerza vertical. Fv, provoca flexión dirigida hacia abajo de tal modo que la caro superior do la viga está a tensión y la cara inferior a compresión, El momento flexionante ocurrirá en el apoyo izquierdo, donde:

Entonces el esfuerzo flexionante máximo provocado por este momento es:

Un esfuerzo de esta magnitud ocurre como esfuerzo de tensión en la cara superior y como esfuerzo de comprensión en la cara inferior de la viga en el apoyo

 Paso 5, Este paso no se aplica a este problema porque no hay una fuerza horizontal que actúe a una cierta distancia de eje neutro.

Instrucciones para resolver problemas con esfuerzos normales combinados - Ejemplo 1

Ejemplo 

Para el sistema mostrado en la figura 11-1, determine el esfuerzo de tensión o compresión máximo combinado en cada viga horizontal en voladizo, cuando del sistema de cables entre olías se suspendo una carga estática de 10 000 lb. Las vigas son vigas I estándar Aluminum Association. 61 x 4 03.
A continuación, si tas vigas deben ser de aleación de aluminio 6061-T6, calcule el factor de diseño resultante.

Solución 

Objetivo Calcular el esfuerzo máximo combinado y el factor de diseño resultante para las vigas horizontales en voladizo mostradas en la figura 11-1.

Datos La carga es de 10 000 Ib. El sistema de fuerzas mostrado en la figura 11-2. La tensión en cada cable es da 10000 Ib. Las vigas ds 2.0 pies de longitud son perfiles de 61 x 4.03 de aleación de aluminio 6061-T6. Según el apéndice A-11, las propiedades de las vigas son A = 3.427 plg2 y S = 7.33 plg3.

Análisis La tensión en el cable conectado al extremo de cada viga en voladizo tenderá a provocar un esfuerzo do tensión directo combinado con esfuerzo flexionante con la viga. Siga las Instrucciones para resolver problemas con esfuerzos normales combinados descritas en esta sección.

Instrucciones para resolver problemas con esfuerzos normales combinados - IV

Ésta es la fuerza aplicada a cada viga, como se muestra en la figura 11

A continuación en la figura 11-1 se presenta un ejemplo que completa el análisis de la condición dc esfuerzo combinado encada una dc las vigas horizontales en voladizo.

Instrucciones para resolver problemas con esfuerzos normales combinados - III

en la figura 11 - 1 se muestra un ejemplo de un miembro en el que se desarrolla tanto esfuerzos flexionantes como esfuerzos de tensión directos.

Las dos vigas horizontales soportan una carga de 10 000 lb por medio de cables. Las vigas están firmemente unidas columnas, de modo que actúan como vigas en voladizo La carga en el extremo de cada viga es igual a la tensión en el cable. La figura 11-2 muestra que el componente vertical de la tensión en cada cable debe ser de 5000 lb. Es decir:

y la tensión total en el cable es:

Instrucciones para resolver problemas con esfuerzos normales combinados - II

6. Considerando lodos los esfuerzos normales calculados cn los pasos 1 - 5 use la superposición para combinarlos en cualquier punto de cualquier sección transversal donde el esfuerce combinado pueda ser máximo. La superposición se logra con la suma algebraica de todos los esfuerzos que actúan en un punto, teniendo cuidado de observar si cada esfuerzo componente es de tensión (+) o de compresión Es posible que se requiera evaluar la condición del esfuerzo con dos o mas puntos si no es obvio dónde ocurrente esfuerzo combinado máximo. En general el proceso de superposición se puede expresar como:

 

en donde el término ±F/A, incluye todos los esfuerzos de tensión y compresión directos que actúan en el punto de interés y el término ± M/S, incluye lodos los esfuerzos flexionantes que actúan en dicho punto. El signo de cada esfuerzo se debe determinar de manera lógica con base en la carga que provoca el esfuerzo individual.

7. El esfuerzo máximo combinado en el miembro se puede comparar entonces con el esfuerzo de diseño del material con el cual se va a fabricar el miembro para calcular el factor de diseño resultante y para evaluar la seguridad del miembro. En materiales isotrópicos, el esfuerzo dc tensión o de compresión podría provocar la falla, cualquiera que sea el máximo. Para materiales no isotrópicos con diferentes resistencias a tensión y compresión, se tiene que calcular el factor de diseño resultante correspondiente tanto al esfuerzo de tensión como al de compresión para determinar cuál de los dos es el crítico. Además, en general, se requerirá considerar la estabilidad de aquellas partes de los miembros sometidos a esfuerzos de compresión mediante el análisis de la tendencia al pandeo o al deterioro local del miembro. El análisis con respecto al deterioro y pandeo de partes de miembros requerirá referencia a otras fuentes

Instrucciones para resolver problemas con esfuerzos normales combinados - I

Estas instrucciones conciernen a situaciones en las que actúan dos o más gas o Componentes de cargos de tal modo que producen esfuerzos normales (de tensión yo compresión) en el miembro de carga. En general, se debes incluir las cargas que producen esfuerzo flexionante, tensión o comprensión directa. El objetivo es calcular el esfuerzo combinado máximo en el miembro Sean los esfuerzos de tensión positivos (+ )y los de compresión negativos. 

1. Dibuje el diagrama de cuerpo libre del miembro de carga y calcule la magnitud de todas las fuerzas aplicadas. 
2. Para cualquier fuerza que actúe a un cierto ángulo de inclinación con respecto al eje neutro del miembro, descomponerla en sus componentes pendicular y paralela al eje neutro. 
3. Las fuerzas o componentes que actúan en una dirección coincidente con el eje neutro producirán tensión o compresión directa con una distribución del esfuerzo uniforme en toda la sección Calcule estos esfuerzos
4. Las fuerzas o componentes que actúan perpendiculares al eje neutro provocan esfuerzos flexionantes. Determine los momentos flexionantes causados por estas fuerzas, o de manera individual o en combinación. A continuación, para la sección sometida al momento flexionante máximo, calcule el esfuerzo con la fórmula de flexión O = M/S. el esfuerzo máximo ocurrirá en las fibras más externas de la sección transversal. Obsérvese en qué puntos el esfuerzo es de tensión e en cuales es de compresión
5. Las fuerzas o componentes que actúan paralelas al eje neutro pero cuya línea de acción esta distante de este también provocan flexión. El momento flexionante es el producto de la fuerza por la distancia perpendicular del eje neutro a la línea de acción de la fuerza. Calcule el esfuerzo flexionante producido por momentos como esos en cualquier sección donde el esfuerzo combinado pueda ser el máximo.

ESFUERZOS NORMALES COMBINADOS

La primera combinación considerar es la flexión con tensión ó compresión directa cualquier problema de esfuerzo combinado, conviene visualizar la distribución fuerzo producida por los diversos componentes del patrón de esfuerzo total. 

Se debe revisar la sección 10 -1 en busca de los resúmenes de la distribución del esfuerzo en el caso de flexión y tensión y compresión directas. Nótese que la flexión produce esfuerzos de tensión y compresión, al igual que la tensión y compresión directas Puesto sí produce la misma clase de esfuerzos, una suma algebraica de los esfuerzos producidos en un punto cualquiera es todo lo que se requiere para calcular el esfuerzo resultante en dicho punto. Este proceso se llama superposición.

OBJETIVOS DE ESTE CAPÍTULO

Este capítulo se puede estudiar después de completar  o independientemente de él. Existen varios casos prácticos que implican esfuerzos combinados que se pueden resolver sin recurrir a los procedimientos más rigurosos y tardados presentados en el capítulo 10, aun cuando las técnicas analizadas en este capítulo están basadas en los principios del capítulo mencionado. 

Cuando una viga se somete tanto a flexión como a esfuerzo axial directo, sea de tensión o de compresión, se puede usar la superposición simple de los esfuerzos aplicados para determinar el esfuerzo combinado. Muchos equipos transmisores de potencia incluyen flechas que se someten a esfuerzo cortante torsíonal junto con esfuerzo flexionan te. Tales flechas se pueden analizar con la teoría de falla del máximoes fuerzo cortante y con la técnica de análisis del par de lorsión equivalente. Después de terminar el estudio de este capítulo, el lector será capaz de:

1. Calcular el esfuerzo normal combinado producido por el esfuerzo flexionante junto con esfuerzos de tensión o compresión directos valiéndose del principio de superposición. 

2. Reconocer I a importancia de visualizar la distribución del esfuerzo en la sección transversal de un miembro de carga y considerar la condición de esfuerzo en un punto. 

3. Reconocer la importancia de los diagramas de cuerpo liba- de componentes de estructuras y mecanismos en el análisis de esfuerzos combinados

TEORÍA DE FALLA DEL ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO - Ejemplo

Una barra circuía sólida de 45 mm de diámetro se somete a una fuerza de tensión axial de 120 kN combinada con un par de torsión de 1150 N • m. Calculo el esfuerzo cortante máximo en la barra.

Solución Objetivo

Calcular el esfuerzo cortante máximo en la barra

Datos  Diámetro = D = 45 mm.

Fuerza axial -F- 120 kN= 120000 N

Par de torsión = T = 1150 N m = 1 150 000 N mm

Comentario Este esfuerzo debe compararse con el esfuerzo cortante do diseño.

TEORÍA DE FALLA DEL ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO

Uno de los principios de diseño más ampliamente utilizados es la teoría fie falla del esfuerzo cortante máximo, la cual establece que:

Desde luego, para aplicar esta teoría, es necesario que se pueda calcular la magnitud de esfuerzo cortante máximo. Si el miembro se somete a cortante puro, tal como esfuerzo cortante torsional, esfuerzo cortante directo o esfuerzo cortante en vigas sometidas a flexión, él es fuerzo cortante máximo se puede calcular directamente con fórmulas como las que se desarrollaron en este libro, Pero si existe una condición de esfuerzo combinado se debe usar la ecuación (10 9)o el circulo de Mohr para determinar el esfuerzo cortante máximo,

 Un caso especial «le esfuerzo combinado que ocurre a menudo esfuerzo normal en una sola dirección se combina con un esfuerzo cortar una barra circularse podría someter a tensión axial directa al mismo tiempo En muchos tipos de transmisiones de potencia mecánica, las flechas y torsión simultáneamente. Cierta clase de sujetadores pueden someterse a tensión combinada con cortante directo. Cierta clase de sujetadores pueden someterse a tensión combinada con cortante directo Se puede desarrollar una fórmula simple para tales casos con el circulo de Mohr la ecuación (10-9). Si sólo un esfuerzo normal en la dirección x, O2 combinado con un esfuerzo córtame. r existe, el esfuerzo cortante es:

Resumen Procedimientos para los casos en que el esfuerzo principal llene el mismo signo

Este resumen concierne a la situación en la que el análisis con el circulo de Mohr de un elemento sometido a esfuerzo plano (esfuerzos apilas dos dimensiones) produce el resultado de que ambos esfuerzos principales (o1 y o2 )son del mismo signo: es decir, ambos son de tensión o ambos son de compresión. En esos casos, se deberá completar LOS PASOS SIGUIENTES PARA obtener una imagen real de la condición de esfuerzo en el elemento tridimensional. A. Dibuje el circulo de Mohr completo para la condición de esfuerzo planos e identifique los esfuerzos principales O1 y O2 B. Se los esfuerzos principales son de tensión (positivos)

CASO ESPECIAL EN EL CUAL LOS DOS ESFUERZOS PRINCIPALES TIENEN EL MISMO SIGNO - Tres circulos de Morh

Tres circulos de Morh

CASO ESPECIAL EN EL CUAL LOS DOS ESFUERZOS PRINCIPALES TIENEN EL MISMO SIGNO - V

La figura 10-33 ilustra otro caso en el que los esfuerzos principales del elemento sometido a esfuerzo inicial tienen el mismo signo, ambos negativos en este caso. Los esfuerzos iniciales son:

En este caso, también, se debe trazar los círculos complementarios. Pero, es esfuerzo cero en las caras “delantera” y “trasera” del elemento se trasforma en el esfuerzo principal máximo (O1). Es decir

CASO ESPECIAL EN EL CUAL LOS DOS ESFUERZOS PRINCIPALES TIENEN EL MISMO SIGNO - IV

De acuerdo con la ecuación (10-13), el esfuerzo cortante máximo real a:

Estos conceptos se pueden visualizar gráficamente con tres círculos de Mohr en vez de uno. La Figura 10-32 muestra el círculo obtenido del elemento sometido a esfuerzo inicial, un segmento circulo que incluye O1 y O3 y un tercero que incluye O2 y O3. De este modo cada circulo representa el plano en el que actúan dos de los tres esfuerzos principales. El punto en la parte superior de cada círculo mayor, dibujando para O1 y O3 produce el esfuerzo cortante máximo real y su valor concuerda con la ecuación (10-13)