Diagrama de cuerpo libre: Resortes

Si un resorte elástico lineal (o cuerda) de longitud no deformada lo se usa como soporte de una partícula, su longitud cambiará en proporción directa a la fuerza F que actúe sobre él, figura 3-1. Una característica que define la “elasticidad” de un resorte es la constante de resorte o rigidez, k.
La magnitud de la fuerza ejercida en un resorte elástico lineal que tiene una rigidez k y está deformado (alargado o acortado) una distancia s = l - lo, medida desde su posición sin carga, es

Diagrama de cuerpo libre

Para aplicar la ecuación de equilibrio debemos tomar en cuenta todas las fuerzas conocidas y desconocidas (ΣF) que actúan sobre la partícula.
La mejor manera de hacer esto es pensar en la partícula como aislada y “libre” de su entorno. Un dibujo que muestra la partícula junto con todas las fuerzas que actúan sobre ella se denomina diagrama de cuerpo libre (DCL).
Antes de presentar un procedimiento formal de cómo trazar un diagrama de cuerpo libre, primero consideraremos dos tipos de conexiones que se encuentran con frecuencia en problemas de equilibrio de partículas.

Condiciones para el equilibrio de una partícula

Se dice que una partícula está en equilibrio si permanece en reposo y en un principio estaba en reposo, o si tiene una velocidad constante y originalmente estaba en movimiento. Sin embargo, más a menudo, el término “equilibrio” o, de manera más específica, “equilibrio estático” se usa para describir un objeto en reposo. Para mantener el equilibrio, es necesario satisfacer la primera ley del movimiento de Newton, la cual requiere que la fuerza resultante que actúa sobre una partícula sea igual a cero. Esta condición puede ser establecida matemáticamente como

Equilibrio de una partícula

OBJETIVOS DEL CAPÍTULO

• Presentar el concepto de diagrama de cuerpo libre para una partícula.
• Mostrar cómo se resuelven los problemas de equilibrio de una par tí cu la, mediante las ecuaciones de equilibrio.

Producto punto

El producto punto entre dos vectores A y B genera un escalar. Si A y B se expresan en forma vectorial cartesiana, entonces el producto punto es la suma de los productos de sus componentes x, y y z.
El producto punto puede usarse para determinar el ángulo entre A y B.
El producto punto también se utiliza para determinar la componente proyectada de un vector A sobre un eje aa que se define por medio de su vector unitario ua.

Vectores de posición y fuerza

Un vector de posición ubica un punto en el espacio con relación a otro. La forma más fácil de formular las componentes de un vector de posición es determinar la distancia y dirección que debe recorrerse a lo largo de las direcciones x, y y z —desde la cola hasta la cabeza del vector.
Si la línea de acción de una fuerza pasa a través de los puntos A y B, entonces la fuerza actúa en la misma dirección que el vector de posición r, que se define mediante el vector unitario u. De esta manera, la fuerza puede expresarse como un vector cartesiano.

Vectores cartesianos

El vector unitario u tiene una longitud de uno, sin unidades, y apunta en la dirección del vector F.
Una fuerza puede descomponerse en sus componentes cartesianos a lo largo de los ejes x, y, z de manera que F = Fx i + Fy j + Fz k.
La magnitud de F se determina a partir de la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de sus componentes.

Componentes rectangulares: dos dimensiones

Los vectores Fx y Fy son componentes rectangulares de F.
La fuerza resultante se determina a partir de la suma algebraica de sus componentes.

Ley del paralelogramo

Dos fuerzas se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. Las componentes forman los lados del paralelogramo y la resultante es la diagonal.
Para encontrar las componentes de una fuerza a lo largo de cualesquiera de los dos ejes, extienda líneas desde la cabeza de la fuerza, paralelas a los ejes, a fin de formar las componentes.

Para obtener las componentes de la resultante, muestre la forma en que se suman las fuerzas de punta a cola usando la regla del triángulo; después utilice la ley de los cosenos y la ley de los senos para calcular sus valores.

Si los vectores son colineales

Si los vectores son colineales, la resultante es simplemente la suma algebraica o escalar.

La multiplicación o la división de un vector

La multiplicación o la división de un vector por, o entre, un escalar sólo cambiará la magnitud del vector.
Si el escalar es negativo, el sentido del vector cambiará de manera que actúe en el sentido opuesto.

Un escalar es un número positivo o negativo

Un escalar es un número positivo o negativo; por ejemplo, masa y temperatura.
Un vector tiene magnitud y dirección, y la punta de la flecha indica el sentido del vector.