Producto punto - Ejemplo 2

Producto punto - Ejemplo 1

Producto punto - Aplicaciones (II)

Las componentes de un vector paralelo y perpendicular a una línea.

La componente de un vector A paralelo a, o colineal con,

Producto punto - Aplicaciones (I)

En mecánica, el producto punto tiene dos importantes aplicaciones.
• El ángulo formado entre dos vectores o líneas que se intersecan.
El ángulo u entre las colas de los vectores A y B que se muestran en la figura 2-42 pueden determinarse mediante la ecuación 2-12 y escribirse como

Producto punto - Formulación vectorial cartesiana.

La ecuación 2-12 debe usarse para hallar el producto punto de cada uno de los dos vectores

Producto punto - Leyes de operación.

1. Ley conmutativa: A * B = B * A
2. Multiplicación por un escalar: a(A * B) = (aA)* B = A*(aB)
3. Ley distributiva: A * (B + D) = (A * B) + (A * D)
Es fácil demostrar la primera y segunda leyes por medio de la ecuación
2-12. La demostración de la ley distributiva se deja como un ejercicio (vea el problema 2-111).

Producto punto

Algunas veces, en estática debemos localizar el ángulo entre dos líneas o las componentes de una fuerza paralela y perpendicular a una línea.
En dos dimensiones, esos problemas pueden resolverse por trigonometría puesto que las relaciones geométricas son fáciles de visualizar. Sin embargo, en tres dimensiones esto suele ser difícil, y en consecuencia deben emplearse métodos vectoriales para encontrar la solución. El producto punto define un método particular para “multiplicar” dos vectores
y se usa para resolver los problemas antes mencionados.
El producto punto de los vectores A y B, que se escribe A # B, y se lee “A punto B”, se define como el producto de las magnitudes de A y B y el coseno del ángulo u entre sus colas, figura 2-42. Expresado en forma de ecuación,

Vector fuerza dirigido a lo largo de una línea - Ejemplo 3

Vector fuerza dirigido a lo largo de una línea - Ejemplo 2

La fuerza que se muestra en la figura 2-40a actúa sobre el gancho.
Exprésela como un vector cartesiano.

Vector fuerza dirigido a lo largo de una línea - Puntos importantes

• Un vector de posición localiza un punto en el espacio con respecto a otro punto.
• La manera más fácil de formular las componentes de un vector de posición consiste en determinar la distancia y la dirección que debe recorrerse a lo largo de las direcciones x, y, z, desde la cola hasta la cabeza del vector.
• Una fuerza F que actúa en la dirección de un vector de posición r puede ser representada en forma cartesiana si se determina el vector unitario u del vector de posición y éste se multiplica por la magnitud de la fuerza, es decir, F = Fu = F(r/r).

Vector fuerza dirigido a lo largo de una línea

Con mucha frecuencia, en problemas tridimensionales de estática, la dirección de una fuerza se especifica por dos puntos a través de los cuales pasa su línea de acción. Tal situación se muestra en la figura 2-38, donde la fuerza F está dirigida a lo largo de la cuerda AB. Podemos formular F como un vector cartesiano al observar que esta fuerza
tiene la misma dirección y sentido que el vector de posición r dirigido desde el punto A hasta el punto B sobre la cuerda. Esta dirección común se especifica mediante el vector unitario u = r/r. Por lo tanto,

Vectores de posición - Ejemplo 1

Una banda elástica de caucho está unida a los puntos A y B como se muestra en la figura 2-37a. Determine su longitud y su dirección medida de A hacia B.

Vectores de posición - Vector de posición. (III)

Así, las componentes i, j, k del vector de posición r pueden formarse al tomar las coordenadas de la cola del vector A(xA, yA, zA) para después restarlas de las coordenadas correspondientes de la cabeza. B(xB, yB, zB).
También podemos formar estas componentes directamente, figura 2-36b, al comenzar en A y recorrer una distancia de (xB xA) a lo largo del eje x positivo ( i), después (yB yA) a lo largo del eje y positivo ( j) y finalmente (zB zA) a lo largo del eje z positivo ( k) para obtener B.

Vectores de posición - Vector de posición. (II)

En el caso más general, el vector de posición puede estar dirigido desde el punto A hasta el punto B en el espacio, figura 2-36a. Este vector también está designado por el símbolo r. A manera de convención, algunas veces nos referiremos a este vector con dos subíndices para indicar desde dónde y hasta qué punto está dirigido. Así, r también puede designarse como rAB. Además observe que rA y rB, en la figura 2-36a están referenciados con sólo un subíndice puesto que se extienden desde el origen de coordenadas.
A partir de la figura 2-36a, por la suma vectorial de cabeza a cola y con la regla del triángulo, se requiere que

Vectores de posición - Vector de posición. (I)

Un vector de posición r se define como un vector fijo que ubica un punto en el espacio en relación con otro punto.
Por ejemplo, si r se extiende desde el origen de coordenadas, O, hasta el punto P(x, y, z), figura 2-35a, entonces r se puede expresar en forma de vector cartesiano como

Vectores de posición - Coordenadas x, y, z.

A lo largo de este libro usaremos un sistema coordenado derecho para hacer referencia a la localización de puntos en el espacio. También usaremos la convención seguida en muchos libros técnicos, la cual exige que el eje z positivo esté dirigido hacia arriba (dirección cenital) de forma que mida la altura de un objeto o la altitud de un punto. Por tanto, los ejes x, y se encuentran en el plano horizontal, figura 2-34. Los puntos en el espacio se localizan con relación al origen de coordenadas, O, por mediciones sucesivas a lo
largo de los ejes x, y, z. Por ejemplo, las coordenadas del punto A se obtienen comenzando en O y midiendo xA 4 m a lo largo del eje x, luego yA 2 m a lo largo del eje y, y finalmente zA 6 m a lo largo del eje z. Así, A(4 m, 2 m, 6 m). De la misma manera, mediciones a lo largo de los ejes x, y, z desde O hasta B generan las coordenadas de B, es decir, B(6 m, 1 m, 4 m).

Vectores de posición

En esta sección presentaremos el concepto de vector de posición. Se mostrará que este vector es importante al formular un vector de fuerza cartesiano dirigido entre dos puntos cualesquiera en el espacio.

Vectores cartesianos Ejemplos 4

Vectores cartesianos Ejemplos 3

Exprese la fuerza F que se muestra en la figura 2-32a como un vector cartesiano.

Vectores cartesianos Ejemplos 2

Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante que actúa sobre el anillo en la figura 2-31a.

Vectores cartesianos Ejemplos 1

Exprese la fuerza F mostrada en la figura 2-30 como un vector cartesiano.

SOLUCIÓN

Como sólo se dan dos ángulos directores coordenados, el tercer ángulo puede ser determinado con la ecuación 2-8; es decir,

Suma de Vectores Cartesianos Puntos importantes

• El análisis vectorial cartesiano se usa a menudo para resolver problemas en tres dimensiones.
• Las direcciones positivas de los ejes x, y, z se definen mediante los vectores unitarios cartesianos i, j, k, respectivamente.