Resultantes de sistemas de fuerzas: Momento de una fuerza, formulación vectorial (II)

Principio de transmisibilidad.

A menudo, la operación del producto cruz se usa en tres dimensiones porque no se requiere la distancia perpendicular o el brazo de momento desde el punto O hasta la línea de acción de la fuerza. En otras palabras, podemos usar cualquier vector de posición r medido desde el punto O hasta cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza F, figura 4-11. Así,

Resultantes de sistemas de fuerzas: Momento de una fuerza, formulación vectorial (I)

El momento de una fuerza F con respecto al punto O, o realmente con respecto al eje del momento que pasa por O y es perpendicular al plano que contiene a O y a F, figura 4-10a, puede expresarse por el producto cruz vectorial, a saber,

Resultantes de sistemas de fuerzas: Formulación vectorial cartesiana (III)

Resultantes de sistemas de fuerzas: Formulación vectorial cartesiana (II)

Resultantes de sistemas de fuerzas: Formulación vectorial cartesiana (I)

La ecuación 4-3 puede usarse para encontrar el producto cruz de cualquier par de vectores unitarios cartesianos.

Resultantes de sistemas de fuerzas: Producto cruz (II)

Leyes de operación

Resultantes de sistemas de fuerzas: Producto cruz (I)

El momento de una fuerza se formulará mediante vectores cartesianos en la siguiente sección. Sin embargo, antes de hacerlo, es necesario ampliar nuestro conocimiento del álgebra vectorial e introducir el método del producto cruz de la multiplicación vectorial.

El producto cruz de dos vectores A y B da como resultado el vector C, el cual se escribe

C = A X B (4-2)

y se lee “C es igual a A cruz B”.

Ejemplo 4: Momentos

Para poder sacar el clavo se requerirá que el momento de FH con respecto al punto O sea más grande que el momento de la fuerza FN con respecto a O que se necesita para sacar el clavo.

Ejemplo 3: Momentos

Como se ilustra en los problemas de ejemplo, el momento de una fuerza no siempre ocasiona rotación. Por ejemplo, la fuerza F tiende a girar la viga en el sentido de las manecillas del reloj en torno a su soporte en A con un momento MA FdA. Si se quitara el soporte en B se daría la rotación real.

Ejemplo 2: Momento de una fuerza, formulación escalar

Determine el momento resultante de las cuatro fuerzas que actúan sobre la barra de la figura 4-5 con respecto al punto O.

SOLUCIÓN

Si se supone que los momentos positivos actúan en la dirección k, es decir, en sentido contrario al de las manecillas del reloj, tenemos

Ejemplo 1: Momento de una fuerza, formulación escalar

Para cada caso ilustrado en la figura 4-4, determine el momento de la fuerza con respecto al punto O.
SOLUCIÓN (ANÁLISIS ESCALAR)
La línea de acción de cada fuerza está extendida como una línea discontinua para establecer el brazo de momento d. También se ilustra la tendencia de rotación del elemento causada por la fuerza.
Además, la órbita de la fuerza respecto de O se muestra con una flecha curva de color azul. Entonces,

Momento de una fuerza, formulación escalar: Momento resultante.

Para problemas bidimensionales, donde todas las fuerzas se encuentran en el plano x-y, figura 4-3, el momento resultante (MR)o con respecto al punto O (el eje z) puede determinarse al encontrar la suma algebraica de los momentos causados por todas las fuerzas en el sistema. Como convención consideraremos de manera general los momentos positivos como en sentido contrario al de las manecillas del reloj por estar dirigidos a lo largo del eje positivo z (fuera de la página). Los momentos en el sentido de las manecillas del reloj serán negativos. Al hacer esto, el sentido de dirección de cada momento puede representarse mediante un signo de más o de menos.
Por lo tanto, si se utiliza esta convención de signos, el momento resultante en la figura 4-3 es

Momento de una fuerza, formulación escalar: Dirección

La dirección de MO está definida por su eje de momento, el cual es perpendicular al plano que contiene la fuerza F, y por su brazo de momento d. Para establecer el sentido de dirección de MO se utiliza la regla de la mano derecha. De acuerdo con esta regla, el curveo natural de los dedos de la mano derecha cuando éstos se doblan sobre la palma representa la tendencia para la rotación causada por el momento. Cuando se realiza esta acción, el pulgar de la mano derecha dará el sentido de la dirección de MO, figura 4-2a. Observe que, en tres dimensiones, el vector de momento se ilustra mediante una flecha curva alrededor de una flecha. En dos dimensiones, este vector se representa sólo con la flecha curva como en la figura 4-2b. Como en este caso el momento tenderá a causar una rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el vector de momento se dirige en realidad hacia fuera de la página.

Momento de una fuerza, formulación escalar (II)

Ahora podemos generalizar el análisis anterior y considerar la fuerza F y el punto O que se encuentran en un plano sombreado como se muestra en la figura 4-2a. El momento MO con respecto al punto O, o con respecto a un eje que pase por O y sea perpendicular al plano, es una cantidad vectorial puesto que tiene magnitud y dirección específicas.
Magnitud. La magnitud de MO es

Momento de una fuerza, formulación escalar (I)

Cuando una fuerza se aplica a un cuerpo, ésta producirá una tendencia a que el cuerpo gire alrededor de un punto que no está en la línea de acción de la fuerza. Esta tendencia a girar se conoce en ocasiones como par de torsión, pero con mayor frecuencia se denomina el momento de una fuerza o simplemente el momento. Por ejemplo, considere una llave de torsión que se usa para desenroscar el perno de la figura 4-1a.
Si se aplica una fuerza al maneral de la llave ésta tenderá a girar el perno alrededor del punto O (o el eje z). La magnitud del momento es directamente proporcional a la magnitud de F y a la distancia perpendicular o brazo de momento d. Cuanto más grande sea la fuerza o más grande sea el brazo de momento, mayor será el momento o el efecto de giro. Observe que si se aplica la fuerza F a un ángulo Z 90°, figura 4-1b, entonces será más difícil girar el perno puesto que el brazo de momento d¿ d sen será menor que d. Si se aplica F a lo largo de la llave, figura 4-1c, su brazo de momento será igual a cero puesto que la línea de acción de F intersecará el punto O (el eje z). En consecuencia, el momento de F respecto de O también es cero y no puede ocurrir el giro.