Ejemplo 1 - Vigas simplemente apoyadas asimétricamente cargadas. - IV

FIGURA 12-31 Diagramas de área de momentodd ejemplo 12-10

Ejemplo 1 - Vigas simplemente apoyadas asimétricamente cargadas. - III

Ejemplo 1 - Vigas simplemente apoyadas asimétricamente cargadas. - II

Ejemplo 1 - Vigas simplemente apoyadas asimétricamente cargadas. - I

Determino la deflexión a la mitad de la viga mostrada en la figura 12-29 a 1.0m de los apoyos. La viga es una viga de acero American Standard. S3 x 5,7.

Ejemplo - VIGAS CON CARGAS DISTRIBUIDAS-MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTO - Part 1

Ejemplo 

Determine la deflexion en el extremo de la viga en voladizo que soporta una carga uniformemente distribuida mostrada en la figura 12-32. La viga es un tubo de acero estructural hueco de 6x2x1/4 con la dimension de 6.0 plg horixontal.

Vigas simplemente apoyadas asimétricamente cargadas.

La diferencia principal entre este tipo de viga y las antes consideradas es que el punto de deflexión máxima se conoce Se debe tener un especial cuidado al describir la geometría del diagrama M/El y de la curva de deflexión de la viga El procedimiento general para determinar la deflexión en cualquier puntos de la curva de deflexión en el caso de una viga simplemente apoyada asimétricamente cargada se describe a continuación Debido a los innumerables patrones de carga diferente era especifica de aplicar este procedimiento se tiene que ajustar a cualquier problema dado Se recomienda verificar los principios fundamentales del método del área de momento al terminar de resolver un problema El método se ilustrará con un ejemplo

Ejemplo 1 - Vigas con sección transversal variable. - III

Comentario Como antes, este valor es igual a la deflexión del punto E a la mitad de la viga. Comparándola con la deflexión de 0.260 plg determinada en ejemplo 1 la adición de la cubreplaca redujo la deflexión máximo de casi 64%

Ejemplo 1 - Vigas con sección transversal variable. - II

Ejemplo 1 - Vigas con sección transversal variable. - I

Ejemplo Determine la defloxión a la mitad de la viga reforzada mostrada en la figura 12-27

Vigas con sección transversal variable.

Uno de los usos principales del método del área de momento es para calcular la deflexión de una viga de sección transversal variable a lo largo de su longitud Se requiere sólo un paso adicional en comparación con las vigas de sección transversal uniforme, como las consideradas hasta ahora En la figura 12-27 se muestra un ejemplo de una viga de ese tipo. 

Nótese que es una modificación de la viga usada en los ejemplos 12-7 y 12-8 mostrada en la figura 12-24 En este caso se agregó una placa rectangular, de 0.25 plg por 6.0 plg.a I., parte in tenor del canal original a lo largo de 48 plg intermedias de la longitud de la viga El perfil tubular incrementa la rigidez de manera significativa, por loque se reduce la deflexión de la viga 

El esfuerzo en la viga también se reduciera. El cambio del procedimiento paro analizar la deflexión de la viga radica en la preparación del diagrama M/El. La figura 12-28 muestra los diagramas de carga, fuerza cortante y momento flexionante como antes. 

En la primera y las ultimas 12 plg del diagrama ma M/El, la rigidez del canal simple se usa como antes. Para cada segmento localizado en las 48 plg intermedias, se debe usar la rigidez del perfil tubular. E-I diagrama WE/ por tanto, incluye el efecto del cambio de rigidez a lo largo de la viga.

Ejemplo 2 Vigas simplemente apoyadas y simétricamente cargadas - II

Resultados Se puede usar el método del área de momento para determinar la desviación vertical, TBE del punto B a partir de la tangente al punto E a la mitad de la viga. Luego, restandola del valor de T AE calculando en el ejemplo 1 da la deflexión verdadera del punto B. En la figura 12-26 se muestran los datos necesarios para calcular t BE

Observe que la distancia xfl1 se debe medirá partir del punto B. Por tanto la deflexión del punto B es:

Ejemplo 2 Vigas simplemente apoyadas y simétricamente cargadas - I

Ejemplo Para la misma viga del ejemplo 12-7, mostrada en la figura 12-24 determine en el punto fi bajo una de las cargas. 

 Solución 

Objetivo Calcular la dentón en el punto B bajo una de las cargas 

Datos La viga y las cargas mostradas en la figura 12-24. 

Datos La viga y las cargas mostradas en la figura 12-24. 

Análisis use el procedimiento para determinar la deflexion de una mente apoyada simétricamente cargada-método del area de pasos 1-5. Los pasos 1 -4 del ejemplo 12-7 son idénticos y dan como resudado los diagramas de carga, fuerza cortante, momento flexionante, M/El y deflexión mostrados en las figuras 12-24 y 12-25. El procedimiento de solución prosigue en el paso 5.

Ejemplo 1 Vigas simplemente apoyadas y simétricamente cargadas - II

Análisis Use el procedimiento para determinarla deflexión de una viga simplemente apoyada simétricamente cargada-método del área do momento pasos 1-4. Como el patrón do carga es simétrico, la deflexión máxima ocurrirá a la mitad de la viga.

Ejemplo 1 Vigas simplemente apoyadas y simétricamente cargadas - I

Ejemplo Determine la deflexión máxima de la viga mostrada en ta figura 12-24. La viga es una canal, C6x2.834,de aluminio6061 T6, colocado con las patas hacia abajo 

Solución 

Objetivo Calcular la deflexión máxima de la viga 

Datos La viga y las cargas mostradas en la figura 12-24

Vigas simplemente apoyadas y simétricamente cargadas

Esta clase de problemas tiene la ventaja de que se sabe que la deflexion maxima ocurre a la mitad de la viga. En la figura 12 24 se muestra un ejemplo, donde la viga sopona idénticas colocadas a la misma distancia de los apoyos. Naturalmente cualquier carga para la cual se pueda predecir el punto de deflexión máxima se puede resolver con el procedimiento descrito a continuación.

Vigas en voladizo. - Ejemplo 2

Ejemplo Para la misma viga usada en el ejemplo 1 y mostrando en la figura 12-21 calcule la flexion en un punto situado a 1.0 m del apoyo

Solución 
Objetivo calcular a 1.0m del extremo izquierdo de la viga en voladizo Datos La viga y la carga mostraa en la figura 12-21

Vigas en voladizo. - Ejemplo Part 2

En la figura 12-22 se dibuja el diagrama M/El. Observe que los únicos en el diagrama del momento flexionante son las unidades y de valores porque la rigidez do la viga es constante a lo largo de su longitud

Comentario Este resultado es idéntico at que se encontraría con la formula del caso a en el apéndice A-23 El valor del método del área de momento es mucho más evidente cuando intervienen vanas cargas o cuando la viga en voladizo tiene una sección transversal variable a lo largo de toda extensión.

Vigas en voladizo. - Ejemplo Part 1

Ejemplo: use el método del área de momento para determinar la deflexión en el extremo de la viga de acero en voladizo mostrada en la figura 12-21

Solución 

Objetivo Calcular la deflexión en el extremo de la viga en voladizo.

Datos        La viga y la carga mostradas en la figura 12-21

Análisis     Use el procedimiento para determinarla de una viga en voladizo método del área de momento.

Resultados

Paso 1. _La figura 12-21 muestra los diagramas de carga, fuerza cortante y momento flexionante

Paso 2. La rigidez se calcula como sigue:

Vigas en voladizo.

La definición de una viga en voladizo incluye el requisito de que este firmemente sujeta a una estructura de apoyo de tal modo que la viga no pueda en et apoyo. 

Por consiguiente, la tangente a la curva de deflexión en el apoyo siempre alineada con la posición original del eje neutro de la viga en su estado descargó viga es horizontal, como casi siempre se ilustra, la tangente también es horizontal el procedimiento para determinar la deflexión de cualquier punto de una viga en voladizo, descrito a continuación, utiliza los dos teoremas desarrollados en b 12-8 junto con la observación de que la tangente a la cuna de deflexión en el apoyo es horizontal.

Procedimiento para determinar la defíexión de una viga en voladizo-método del área de momento

APLICACIONES DEL MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTO

En esta sección se dan varios ejemplos del uso del método del área de momento para determinar la deflexión de vigas. Se desarrollan procedimientos para cada clase de viga según el tipo de carga y apoyos. Las que se consideran son: 

1. Vigas en voladizo con una amplia variedad de cargas 
2. Vigas simplemente apoyadas simétricamente cargadas 
3. Vigas con sección transversal variable 
4. Vigas simplemente apoyadas asimétricamente cargadas

DEFLEXIÓN DE VIGAS-MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTO - V

Aquí el termino tAN representa la desviación tangencial del punto/4 de la tangente al punto B, como se muestra en la figura 12-20, Además, el lado derecho de la ecuación (12-18) es el momento dcl área del diagrama M/El entre los puntos A y B. En la práctica, el momento del área se calcula multiplicando el área bajo la curva M/El por la distancia al centroide del área, mostrada también en la figura 12-20.

DEFLEXIÓN DE VIGAS-MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTO - IV

El cambio del ángulo dO hace que cambie la posición vertical de un punto a una cierta distancia X del pequeño elemento dx, como se muestra en la figura 12-19. Si el cambio de posición se denomina «fr, se puede determinar como sigue:

Para determinar el efecto del cambio de angulo a lo largo de un segmento más grande de la viga, se deben integrar las ecuaciones (12-15)y (12-16)a lo largo del segmento. Por ejemplo, a lo largo del segmento A-B mostrando en la figura 12-20 con la ecuación (12-15)

La ultima parte de esta ecuación es el área bajo la curva Sí/El entre A y B. Ésta es igual al cambio del Angulo de las tangentes en A y B, O2- 0A. Dé la ecuación(12-16):

DEFLEXIÓN DE VIGAS-MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTO - III

Pero observese que dy/dx se define como la pendiente de la curva de la deflexión O en decir dy/dx = O Por tanto

En la figura 12-19 se puede ver la interpretación de la ecuación (12-15)donde el lado derecho (M/El)dxt es el área bajo el diagrama M/Ela lo largo de la pequeña longitud dx. Por tanto, dOes el cambio del ángulo de la pendiente a lo largo de la misma distancia dx. Si se trazan líneas tangentes a I a curva de la deflexión de la viga en los dos puntos que marean el principio y el final del segmento dx, el ángulo entre ellos es dO.

DEFLEXIÓN DE VIGAS-MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTO - II

de análisis de una viga. Si la viga tiene la misma sección transversal en toda su longitud, el diagrama M/El resulta parecido al diagrama de momento flexionante, excepto que sus valores están divididos entre la cantidad El Sin embargo, si el momento de inercia de la sección transversal varia a lao largo de la viga, la forma de diagrama M/El será diferente. Este se muestra en la figura 12-18 Recuérdese la ecuación (12-12)de la sección 12-6

Esta fórmula establece la relación entre h deflexión de la vjga, y, como función de la posición. X, el momento flexionante, M, y la rigidez de la viga. El. El lado derecho de la ecuación se puede rescribir como:

Figura 12-18 Ilustraciones de diagrama M/El de una viga con secciones transversales variables.

DEFLEXIÓN DE VIGAS-MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTO - Gráficas

DEFLEXIÓN DE VIGAS-MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTO - I

El procedimiento semigráfico para determinar deflexiones de vigas llamado método del área de momento, es útil en problemas que incluyen patrones de do la viga tiene una sección trasversal variable a lo largo de ella. Tales casos son dificiles de manejar con los oíros métodos presentados en este capitulo Las flechas de transmisiones mecánicas son ejemplos donde la varía a lo largo del miembro. 

La figura 12 16 muestra una flecha diseñada para portar dos engranes donde los cambios de diámetro forman hombros en los en los cuales se recargan los engranes y cojinetes para su ubicación axial. Nótese, además, que el momento flexionante disminuye hacia los extremos de la flecha, lo que permite que las secciones de menor tamaño sean seguras con respecto a esfuerzo flexionante

 En aplicaciones estructurales de vigas, las secciones transversales variables nudo se usan para abaratar los miembros. Las secciones grandes con momentos de inercia elevados se útil izan donde el momento flexionante es elevado mientras quel de menor tamaño se usan donde el momento flexionante es bajo. 

La figura 12 un ejemplo. El método del área de momento utiliza la cantidad M/EI, c| momento flexionante divido entre la rigidez de la viga, para determinar la deflexión de la viga en puntos seleccionados. Entonces, es conveniente preparar tal diagrama como parte del procedimiento

DEFLEXIÓN DE VIGAS-MÉTODO DE INTEGRACIÓN SUCESIVA-ENFOQUE GENERAL - Ejemplo Part 7

El valor máximo ocurre en el punto A. de modo que es el punto crítico. Se debe seleccionar una viga que limito la deflexión en A a 0.05 plg o menos.

Como el esfuerzo permisible para acero estructural sometido a una carga estática es casi 22000psi. la viga seccionada es segura.

DEFLEXIÓN DE VIGAS-MÉTODO DE INTEGRACIÓN SUCESIVA-ENFOQUE GENERAL - Ejemplo Part 6

FIGURA 12-15 Gráfica que muestra los puntos de pendiente 

DEFLEXIÓN DE VIGAS-MÉTODO DE INTEGRACIÓN SUCESIVA-ENFOQUE GENERAL - Ejemplo Part 5

Con las ecuaciones completas, se puede determinar el punto donde ocurre [a deflexión máxima, que es el objetivo primordial del análisis. Basándose en la carga, la forma probable de la viga deflexionada serla como la de la figura 12-14. Por consiguiente, la deflexión máxima podría ocurrir en el punto A al final del extremo saliente, en un punto a la derecha de B (hacia arriba), o en un punto cerca de la carga en C (hacia abajo). Tal vez existan dos puntos de pendiente cero en los puntos E y F. como se muestra en la figura 12-14. Se tendría que saber dónde la ecuación de la pendiente O El igual a cero con el objeto do determina r dónde ocurre la máxima deflexión

Nótese que la ecuación es de tercer grado. El uso de una calculadora capaz de producir gráficas y de un solucionador do ecuaciones facilita la focalización do los puntos donde O El = 0 La figura 12-15 muestra una gráfica amplificada del segmento BC de la viga en la que so ve OLIO los puntos coro ocurren en x = 3.836 píos y en * - a 366 píos Ahora se pueden determinar los valores de yEt en los puntos A E y F para indagar cuál es el mayor.

FIGURA 12-14 Curva de pendiente y deflexión del ejemplo