Cargas concentradas en claros adyacentes.

Si los clan» adyacentes soportan solo una carga concentrada cada uno, como se muestra en la figura 13-16, entonces la ecuación (13-4) es aplicable.

Cargas uniformemente distribuidas en claros adyacentes.

La figura 13-15 muestra la disposición de las cargas y la definición de los términos aplicables a la ecuación (13-2).

VIGAS CONTINUAS-TEOREMA DE LOS TRES MOMENTOS

Con el teorema de las tres momentos se puede analizar una viga apoyada por cualquier número de apoyos. De hecho el teorema relaciona los momentos flexionantcs en tres apoyos sucesivos entre si y con las cargas que actúan en la viga. En el caso de una viga con únicamente tres apoyos, el teorema permite el cálculo directo del momento en el apoyo intermedio. Las condiciones conocidas en los extremos proporcionan datos para calcular los momentos en ellos. 

Luego se puede usar el principio de estática para determinar las reacciones. En el caso de vigas con más de tres apoyos, el teorema se aplica en sucesión a juego de tres apoyos adyacentes (dos claros), para obtener un juego de ecuaciones que se pueden resolver simultáneamente para los momentos desconocidos, Se puede usar el teorema de los tres momentos para cualquier combinación de cargas. Se desarrollaron formas especiales del teorema para cargas uniformemente distribuidas y concentradas. En este capitulo se usarán estas formas

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN - IV

Se pueden usar las formulas del caso a del apéndice A-22. De nuevo en este caso, la deflexión real en C es cero debido al apoyo firme. Por consiguiente:

A partir de esta relación se puede calcular el valor de Rf I-as reacciones restantes RÁ y R se determinan de la manera tradicional, lo que permite el trazo de los diagramas de fuerza córranle y momento flexionante.

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN - III

El método de superposición se puede aplicar a cualquier viga en voladizo apoyada cuya ecuación de la deflexión provocada por la carga aplicada se puede determinar. Se puede usar cualquiera de las fórmulas de deflexión de vigas como las del apéndice, el método del área de momento o el método de análisis matemático desarrollado en el capitulo 12. Las vigas continuas también se pueden analizar con el método de superposición. 

Considérese la viga sobre tres apoyos mostrada en la figura 13-13. Las tres reacciones en los apoyos desconocidas la hacen estáticamente indeterminada. La reacción /?t adicional se puede determinar con la técnica sugerida en la figura 13-14. Si se quita el apoyo en C, la viga experimentaría la de flexión ya hacia abajo debido a las caigas de 800 Ib. Se puede usar el caso r de I apéndice A-22 para determinarlo- Luego suponiendo que las cargas se retiran y que m: reemplaza la reacción R, . Resultaría la deflexión hacia arriba YO.

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN - Ejemplo Part 6

El diseño final se puede resumir como una barra rectangular de acero AIS11040 laminado en caliente» de 20 mm de espesor y 60 mm de altura, con su extremo izquierdo soldado a un apoyo rígido y con su extremo derecho simplemente apoyado. El esfuerzo máximo en la barra sería menor de 77.6 MPa, y daría un factor de diseño de por lo menos 8 basado en la resistencia última.

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN - Ejemplo Part 5

FIGURA 11-12 Montaje físico de una viga en voladizo apoyada

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN - Ejemplo Part 4

FIGURA 13—11 diagramas de fuerza y momento de la viga voladizo del Ejemplo

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN - Ejemplo Part 3

Momento flexionante en A. MA Si se suman los momentos con respecto al punto A se obtiene:

El signo positivo del resultado indica que el sentido supuesto del momento de reacción en la figura 13-9 es el correcto. Sin embargo, éste es un momento negativo porque hace que la viga se deflexione cóncava hacia abajo cerca del apoyo A 

  Diagramas de fuerza cortante y momento flux loriante 

Ahora ya se pueden dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante como se muestra en la figura 13-11, utilizando las técnicas tradicionales. El momento flexionante máximo ocurre en la carga donde M= 809 N-m.

Diseño de la viga 

Ahora ya se puede diseñar la viga. Supóngase que la instalación real es similara la ilustrada en la figura 13-12, con el extremo izquierdo de la viga soldado y con el extremo derecho apoyado en otra wga Una barra rectangular trabajaría bien dispuesta de esta manera y se supondrá una relación de h = 3í. Un acero al carbón como el AIS11040 laminado en caliente, proporciona una resistencia última de 621 MPa. Su porcentaje de alargamiento, 25%. sugiere una buena ductilidad, la que ayudará a resistir la repetición de Ibs cargas. El diseño debe basarse en el esfuerzo flexionante

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN - Ejemplo Part 2

Los valores de E e I aún no se conocen, pero la deflexión se puede expresar en fundón de EL.

Con estos valoras en lo ecuación (13-1) se obtiene:

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN - Ejemplo Part 1

Determine las reacciones en los apoyos A y 6 de la viga en volatizo mostrada en la figura 13-9 suponiendo que la carga P es de 2600 N y que actúa o 1.20 m hacia afuera de A. La longitud total do la viga es de t .80 m, En seguida dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionanto comptetos y diserte la viga especificando una configuración, un material y sus dimensiones requeridas. Uso un factor de diseño de & basado en la resistencia última puesto que la carga será repetida.

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN - II

Esta ecuación, junto con las ecuaciones normales de equilibrio, permiten evaluar las tres incógnitas, como se demuestro en el ejemplo siguiente. Se debe reconocer que los principios píos de equilibrio estático siguen siendo válidos para vigas estáticamente indeterminadas, Sin embargo, no so» suficientes para obtener una solución directa

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN - I

Coinsidere en primer lugar la viga en el voladizo apoyada mostrada en la figura 13-9 Debido a la restricción en A y el apoyo simple B, las relaciones desconocidas incluyen :

Las condiciones supuesta para esta viga son que los apoyados A y B son absolutamente rigidos y que están al mismo nivel, y que la conexión en A impide la rotación de la viga en dicho punto. Por otra parte, el apoyo en B permite rotación y no puede resistir momentos

Comparación del tipo de apoyo do una viga con el uso de fórmulas estándar - Ejemplo 13- 1 (Part 3)

Comentario 

Estos resultados se compararán con los de los demas diseños de los ejemplos siguientes,

Comparación del tipo de apoyo do una viga con el uso de fórmulas estándar - Ejemplo 13- 1 (Part 2)

Solución Objetivo Diseñar la viga en voladizo y calcular el esfuerzo y la deflexion resultante

Comparación del tipo de apoyo do una viga con el uso de fórmulas estándar - Ejemplo 13- 1 (Part 1)

Ejemplo 13- 1 Paro la viga en voladizo mostrada en la figura 13-4. especifique el canal de acero estándar más ligero que limite el esfuerzo flexionante a 23 760 lb/plg2 y la deflexión máxima a L/360. El canal debe colocarse con las patas hacia abajo y la cara plana del alma hacia arriba para montar la carga. Para el perfil de viga seleccionado calcule el máximo esfuerzo y deflexion esperados 

Figura 13 - 4 Viga en voladizo 

Comparación del tipo de apoyo do una viga con el uso de fórmulas estándar - II

Se puede demostrando que de los cuatro tipos de vigas y sistemas de apoyo a considerar la viga en voladizo es la más deficiente con respecto a esfuerzo y deflexión Por consiguiente, el proceso de comparación se iniciara especificando el perfil y el tamaño de la sección transversal de la viga que garantice que la viga satisface los requisitos establecidos en los incisos 5 y 6. Por tanto, se utilizará el mismo perfil y tamaño para los otros tres diseños. Los ejemplos siguientes generan los resultados para la comparación deseada.

Comparación del tipo de apoyo do una viga con el uso de fórmulas estándar - I

La aplicación do tos fórmulas de vigas estáticamente indeterminadas es similar al proceso utilizado en el capitulo 12 para vigas estáticamente determinadas. En los ejemplos siguientes se demuestra el uso de varias fórmulas contenidas en los apéndices A-22, A-23 y A-24 y también se generan datos con los cuales se compara el desempeño de cuatro tipos diferentes de apoyos para alcanzar el mismo objetivo; es decir, soportar una carga dada a una distancia dada de uno o dos apoyos, La comparación se basa en la magnitud del esfuerzo flexionante y la deflexión en las cuatro vigas del mismo material, perfil y tamaño. La viga de mejor desempeño, por tanto, es aquella con el menor esfuerzo y menor deflexión, Los parámetros de las comparaciones son los siguientes:

FÓRMULAS PARA VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS - II

Características generales de las vigas estáticamente indeterminadas

FÓRMULAS PARA VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS - I

El apéndice A-24 contiene varios ejemplos de vigas estáticamente indeterminada y formulas para calcular las reacciones en los apoyos y la deflexion en cualquier punto de las vigas. Estas formulas se pueden aplicar directamente como se demostró en el capitulo 12 en el caso de vigas estáticamente determinadas. También se muestran diagramas de fuerza cortante y momento flexionante y la formula necesaria para calcular los valores en puntos críticos. 

 Las características generales de las vigas estáticamente indeterminadas son bastante diferentes de las estáticamente determinadas estudiadas en los capítulos anteriores. Estas se ven con toda claridad en la manera de calcular las fuerzas y momentos de reacción en los apoyos, la distribución del momento flexionante con respecto a la posición en la viga. La magnitud de la deflexion en varios puntos de la viga y la forma general de la curva y apoyo. Las formulas inclinadas en el aprendice A-24 se derivaron utilizando los principios estudiados. Se pueden usar las técnicas de superposición y el teorema de los tres momentos más adelante analizados en este capitulo para derivar estas formulas. Al revisar las formulas que vienen en el apéndice A-24, notese las siguientes características generales

EJEMPLOS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS - III

La viga en voladizo apoyada se podría construir como se muestra en la figura 13-3 La carga sobre el techo plano es soportada por una viga rígidamente conectada a una columna por uno de sus extremos y simplmente apoyado en otra columna por el otro. Las vigas continuas y las vigas con extremos fijos tienen ciertas ventajas sobre las simplemente apoyadas. Son más rigidas y en vigas de tamaño equivalentes por lo general se producen esfuerzos más abajos; por otra parte, se puede usar vigas de menor tamaño y peso con el mismo grado de resistencia y rigidez, las desventajas son que los análisis son mas difíciles y el efecto de las pequeñas variaciones de las condiciones de apoyos pueden ser significativas

FÓRMULAS PARA VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS - III

Vigas continuas

EJEMPLOS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS - II

La creación de la condición de extremo fijo requiere que las conexiones en los extremos impidan la rotación de estos así como también para que desempeñen la función de apoyo para las cargas verticales . la figura 13-2 muestra una manera de lograr la condición de apoyo fijo. Soldando una viga transversal en las columnas de apoyo se obtendría el mismo resultado. Se debe tener cuidado al evaluar vigas con extremos fijos para garantizar que las conexiones impidan la rotación de la viga en el apoyo y resistan los momentos

Producidos por la restricción debido cuidado, podría aparecer una confidente entre la de los extremos fijos y la de los apoyos simples, que dificultaría el análisis y conduciría a cometer errores

EJEMPLOS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS - I

Las vigas con más de dos apoyos simples, las vigas en voladizo con un segundo apoyo o las vigas con dos extremos fijos son ejemplos importantes de vigas estáticamente indeterminadas. En la figura 13-1 muestra el método tradicional de representar estos tipos de vigas. Las formas representativas, si bien exageradas, de las curvas de deflexión de las vigas también se muestran. Son de notarse las diferencias significativas entre éstas y las curvas de las vigas del capitulo anterior. 

La figura 13-1 (a) se llama viga continua y el nombre proviene del hecho de que la viga es continua sobre vanos apoyos. Es importante señalar que la forma de la curva de deflexión también es continua a través de los apoyos. Este hecho es útil al analizar tales vigas. Las vigas continuas ocurren con frecuencia en estructuras de edificios y en puentes de carreteras. .Muchas casas campestres con sótanos contienen vigas de ese tipo dispuestas de un lado al Otro de la casa para soportar las cargas producidas por las viguetas de piso y los muros divisorios. Los puentes sobre autopistas para el tráfico local con frecuencia están apoyados en los extremos a ambos lados de la autopista y también a la mitad en él camellón central Nótese que las vigas de puentes como éstos por lo general en de una pieza o están conectadas para formar una viga continua rígida.

La viga con un extremo fijo mostrada en la figura 13—l (b) se usa en estructuras de edificios v también en estructuras de máquinas por el elevado grado de rigidez provisto

Objetivos

Las vigas consideradas en los capítulos anteriores frieron vigas con dos y solados apoyos simples y en voladizo con un extremo fijo y el otro libre. Se demostró que todas las fuerzas de reacción y los momentos flexionantes desconocidos se podían determinar las ecuaciones clásicas de equilibrio.

Estas vigas se llaman estáticamente determinadas 

Este capítulo se ocupa de vigas que no quedan comprendidas dentro las categorías antes mencionadas y por tanto se llaman estáticamente INDETERMINADAS. Para analizar tales vigas se requieren métodos diferentes los cuales se demostraran en este capítulo. 

Asimismo, se comparará el comportamiento de vigas diseñadas para realizar un funcionamiento similar pero provisto de sistemas de apoyo diferentes, de las cuales unas son estáticamente determinadas y otras estáticamente indeterminadas

Ejemplo - VIGAS CON CARGAS DISTRIBUIDAS-MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTO - Part 4

FIGURA 11-33 Curvas M/El y de deflexión del ejemplo.

Ahora se puede usar el teorema 2:

Ejemplo - VIGAS CON CARGAS DISTRIBUIDAS-MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTO - Part 3

Recordando que los diagramas de carga, fuerza cortante y momento flexionante están relacionados entre sí de tal modo que la curva de arriba sea la derivada de la curva de abajo, se puede concluir lo siguiente

Ejemplo - VIGAS CON CARGAS DISTRIBUIDAS-MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTO - Part 2

Solución 

Objetivo 

Calcular la deflexión en el extremo de la viga en voladizo. 

Datos 

La viga y la carga mostradas on la figura 12-32. La viga es un tubo rectangular de acero, do 6 x 2 x 1 /4, con la dimensión de 6 0 ptg horizontal 

Análisis 

Se puede usar el mismo procedimiento básico del ejemplo 12-5 

Resultados 

 La solución comienza con la preparación de los diagramas de carga, fuerza cortante y momento flexionante. mostrados en la figura 12-32 Luego la curva M/El será igual a la curva del momento flexionante por que la rigidez do la viga es uniforme. En el apéndice A-9 se encuentra l= 2.31 plg4 Por tanto, con E= 30 x 106lb/plg2, para el acoro

Ahora la figura 12-33 muestra la curva A*E7Junto con la curva de deflexión do la viga La línea horizontal en el diagrama do deflexión es la Tangente a la forma deflexionada de la viga en el punto A, donde la viga esta empotrada. Por lo tanto, en el extremo derecho de la viga, la desviación de la curva de deflexion de la viga respecto a la tangente, T es igual a la deflexion de la viaga. Utilizando el torema 2, la desviación T es igual al producto del área de la curva M/El entre B y A por la distancia del punto B al centroide del área. Es decir

VIGAS CON CARGAS DISTRIBUIDAS-MÉTODO DEL AREA DE MOMENTO

El procedimiento general para determinar la deflexión de vigas sometidas a cargas distribuidas es el mismo que se demostró para vigas sometidas a cargas concentradas. Sin embargo, la forma de las curvas del momento flexionante y de M/El es diferente y requiere el uso de otras fórmulas para calcular el área y la ubicación del centroide que se usan en el método del área de momento. El ejemplo siguiente ilustra las diferencias que cabe esperar.

Ejemplo 1 - Vigas simplemente apoyadas asimétricamente cargadas. - IV

FIGURA 12-31 Diagramas de área de momentodd ejemplo 12-10

Ejemplo 1 - Vigas simplemente apoyadas asimétricamente cargadas. - III

Ejemplo 1 - Vigas simplemente apoyadas asimétricamente cargadas. - II

Ejemplo 1 - Vigas simplemente apoyadas asimétricamente cargadas. - I

Determino la deflexión a la mitad de la viga mostrada en la figura 12-29 a 1.0m de los apoyos. La viga es una viga de acero American Standard. S3 x 5,7.

Ejemplo - VIGAS CON CARGAS DISTRIBUIDAS-MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTO - Part 1

Ejemplo 

Determine la deflexion en el extremo de la viga en voladizo que soporta una carga uniformemente distribuida mostrada en la figura 12-32. La viga es un tubo de acero estructural hueco de 6x2x1/4 con la dimension de 6.0 plg horixontal.

Vigas simplemente apoyadas asimétricamente cargadas.

La diferencia principal entre este tipo de viga y las antes consideradas es que el punto de deflexión máxima se conoce Se debe tener un especial cuidado al describir la geometría del diagrama M/El y de la curva de deflexión de la viga El procedimiento general para determinar la deflexión en cualquier puntos de la curva de deflexión en el caso de una viga simplemente apoyada asimétricamente cargada se describe a continuación Debido a los innumerables patrones de carga diferente era especifica de aplicar este procedimiento se tiene que ajustar a cualquier problema dado Se recomienda verificar los principios fundamentales del método del área de momento al terminar de resolver un problema El método se ilustrará con un ejemplo

Ejemplo 1 - Vigas con sección transversal variable. - III

Comentario Como antes, este valor es igual a la deflexión del punto E a la mitad de la viga. Comparándola con la deflexión de 0.260 plg determinada en ejemplo 1 la adición de la cubreplaca redujo la deflexión máximo de casi 64%

Ejemplo 1 - Vigas con sección transversal variable. - II

Ejemplo 1 - Vigas con sección transversal variable. - I

Ejemplo Determine la defloxión a la mitad de la viga reforzada mostrada en la figura 12-27

Vigas con sección transversal variable.

Uno de los usos principales del método del área de momento es para calcular la deflexión de una viga de sección transversal variable a lo largo de su longitud Se requiere sólo un paso adicional en comparación con las vigas de sección transversal uniforme, como las consideradas hasta ahora En la figura 12-27 se muestra un ejemplo de una viga de ese tipo. 

Nótese que es una modificación de la viga usada en los ejemplos 12-7 y 12-8 mostrada en la figura 12-24 En este caso se agregó una placa rectangular, de 0.25 plg por 6.0 plg.a I., parte in tenor del canal original a lo largo de 48 plg intermedias de la longitud de la viga El perfil tubular incrementa la rigidez de manera significativa, por loque se reduce la deflexión de la viga 

El esfuerzo en la viga también se reduciera. El cambio del procedimiento paro analizar la deflexión de la viga radica en la preparación del diagrama M/El. La figura 12-28 muestra los diagramas de carga, fuerza cortante y momento flexionante como antes. 

En la primera y las ultimas 12 plg del diagrama ma M/El, la rigidez del canal simple se usa como antes. Para cada segmento localizado en las 48 plg intermedias, se debe usar la rigidez del perfil tubular. E-I diagrama WE/ por tanto, incluye el efecto del cambio de rigidez a lo largo de la viga.

Ejemplo 2 Vigas simplemente apoyadas y simétricamente cargadas - II

Resultados Se puede usar el método del área de momento para determinar la desviación vertical, TBE del punto B a partir de la tangente al punto E a la mitad de la viga. Luego, restandola del valor de T AE calculando en el ejemplo 1 da la deflexión verdadera del punto B. En la figura 12-26 se muestran los datos necesarios para calcular t BE

Observe que la distancia xfl1 se debe medirá partir del punto B. Por tanto la deflexión del punto B es:

Ejemplo 2 Vigas simplemente apoyadas y simétricamente cargadas - I

Ejemplo Para la misma viga del ejemplo 12-7, mostrada en la figura 12-24 determine en el punto fi bajo una de las cargas. 

 Solución 

Objetivo Calcular la dentón en el punto B bajo una de las cargas 

Datos La viga y las cargas mostradas en la figura 12-24. 

Datos La viga y las cargas mostradas en la figura 12-24. 

Análisis use el procedimiento para determinar la deflexion de una mente apoyada simétricamente cargada-método del area de pasos 1-5. Los pasos 1 -4 del ejemplo 12-7 son idénticos y dan como resudado los diagramas de carga, fuerza cortante, momento flexionante, M/El y deflexión mostrados en las figuras 12-24 y 12-25. El procedimiento de solución prosigue en el paso 5.

Ejemplo 1 Vigas simplemente apoyadas y simétricamente cargadas - II

Análisis Use el procedimiento para determinarla deflexión de una viga simplemente apoyada simétricamente cargada-método del área do momento pasos 1-4. Como el patrón do carga es simétrico, la deflexión máxima ocurrirá a la mitad de la viga.

Ejemplo 1 Vigas simplemente apoyadas y simétricamente cargadas - I

Ejemplo Determine la deflexión máxima de la viga mostrada en ta figura 12-24. La viga es una canal, C6x2.834,de aluminio6061 T6, colocado con las patas hacia abajo 

Solución 

Objetivo Calcular la deflexión máxima de la viga 

Datos La viga y las cargas mostradas en la figura 12-24

Vigas simplemente apoyadas y simétricamente cargadas

Esta clase de problemas tiene la ventaja de que se sabe que la deflexion maxima ocurre a la mitad de la viga. En la figura 12 24 se muestra un ejemplo, donde la viga sopona idénticas colocadas a la misma distancia de los apoyos. Naturalmente cualquier carga para la cual se pueda predecir el punto de deflexión máxima se puede resolver con el procedimiento descrito a continuación.

Vigas en voladizo. - Ejemplo 2

Ejemplo Para la misma viga usada en el ejemplo 1 y mostrando en la figura 12-21 calcule la flexion en un punto situado a 1.0 m del apoyo

Solución 
Objetivo calcular a 1.0m del extremo izquierdo de la viga en voladizo Datos La viga y la carga mostraa en la figura 12-21

Vigas en voladizo. - Ejemplo Part 2

En la figura 12-22 se dibuja el diagrama M/El. Observe que los únicos en el diagrama del momento flexionante son las unidades y de valores porque la rigidez do la viga es constante a lo largo de su longitud

Comentario Este resultado es idéntico at que se encontraría con la formula del caso a en el apéndice A-23 El valor del método del área de momento es mucho más evidente cuando intervienen vanas cargas o cuando la viga en voladizo tiene una sección transversal variable a lo largo de toda extensión.