Vectores de Fuerza Ejemplo 2

Descomponga la fuerza horizontal de 600 lb que se muestra en la figura 2-12a en componentes que actúan a lo largo de los ejes u y v, y determine las magnitudes de estas componentes.

Vectores de Fuerza Ejemplo 1

La armella roscada de la figura 2-11a está sometida a dos fuerzas, F1 y F2. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.

Vectores de Fuerza Puntos importantes

• Un escalar es un número positivo o negativo.
• Un vector es una cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido.
• La multiplicación o la división de un vector por, o entre, un escalar cambiará la magnitud del vector. El sentido del vector cambiará si el escalar es negativo.
• Como un caso especial, si los vectores son colineales, la resultante se forma mediante una suma algebraica o escalar.

Trigonometría.

• Dibuje de nuevo la mitad del paralelogramo para ilustrar la suma triangular de cabeza a cola de las componentes.
• A partir de este triángulo, la magnitud de la fuerza resultante puede determinarse con la ley de los cosenos, y su dirección mediante la ley de los senos. Las magnitudes de las dos componentes de fuerza se determinan a partir de la ley de los senos. Las fórmulas se dan en la figura 2-10c.
  

Ley del paralelogramo.

Las dos fuerzas “componentes” F1 y F2 de la figura 2-10a se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo, lo que produce una fuerza resultante FR que forma la diagonal del paralelogramo.
• Si una fuerza F debe separarse en componentes a lo largo de dos ejes u y v, figura 2-10b, entonces comience en la cabeza de la fuerza F y construya líneas paralelas a los ejes, para formar de esta manera el paralelogramo. Los lados del paralelogramo representan las componentes, Fu y Fv.
• Marque todas las magnitudes de fuerzas conocidas y desconocidas y los ángulos sobre el croquis; asimismo, identifique las dos incógnitas como la magnitud y la dirección de FR, o las magnitudes de sus componentes.

Suma de varias fuerzas.

Si deben sumarse más de dos fuerzas, pueden llevarse a cabo aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo para obtener la fuerza resultante. Por ejemplo, si tres fuerzas F1, F2, F3 actúan en un punto O, figura 2-9, se calcula la resultante de dos cualesquiera de las fuerzas, digamos F1 + F2, y luego esta resultante se suma a la tercera fuerza, dando la resultante de las tres fuerzas; es decir.
FR = (F1 + F2) + F3. La aplicación de la ley del paralelogramo para sumar más de dos fuerzas, como se muestra aquí, a menudo requiere de extensos cálculos geométricos y trigonométricos para determinar los valores numéricos de la magnitud y la dirección de la resultante. En vez de ello, los problemas de este tipo pueden resolverse con facilidad mediante el “método de las componentes rectangulares”, el cual se explica en la sección 2.4. FR

Determinación de las componentes de una fuerza

En ocasiones es necesario separar una fuerza en dos componentes a fin de estudiar su efecto de jalón o de empuje en dos direcciones específicas.
Por ejemplo, en la figura 2-8a, F debe separarse en dos componentes a lo largo de los dos elementos, definidos por los ejes u y v. Para determinar la magnitud de cada componente, primero se construye un paralelogramo, con líneas que inician desde la punta de F, una línea paralela a u, y otra línea paralela a v. Después, estas líneas se intersecan con los ejes v y u para formar un paralelogramo. Las componentes de fuerza Fu y Fv se establecen simplemente al unir la cola de F con los puntos de intersección en los ejes u y v, como aparece en la figura 2-8b.
Después, este paralelogramo puede reducirse a una figura geométrica que representa la regla del triángulo, figura 2-8c. Con base en esto, se puede aplicar la ley de los senos para determinar las magnitudes desconocidas de las componentes.

Determinación de una fuerza resultante.

Las dos fuerzas componentes F1 y F2 que actúan sobre el pasador de la figura 2-7a se pueden sumar para formar la fuerza resultante FR = F1 + F2, como se muestra en la figura 2-7b. A partir de esta construcción, o mediante el uso de la regla del triángulo, figura 2-7c, podemos aplicar la ley de los cosenos o la ley de los senos al triángulo, a fin de obtener la magnitud de la fuerza resultante y su dirección.

Suma vectorial de fuerzas

La evidencia experimental ha mostrado que una fuerza es una cantidad vectorial ya que tiene una magnitud específica, dirección y sentido, y que se suma de acuerdo con la ley del paralelogramo. Dos problemas comunes en estática implican encontrar la fuerza resultante, conocer sus componentes, o descomponer una fuerza conocida en dos componentes. A continuación describiremos cómo se resuelve cada uno de estos problemas mediante la aplicación de la ley del paralelogramo.

Resta de vectores.

La diferencia resultante entre dos vectores A y B del mismo tipo puede expresarse como

R' = A - B = A +  (- B)

Esta suma de vectores se muestra de manera gráfica en la figura 2-6.
Puesto que la resta se define como un caso especial de la suma, las reglas de la suma de vectores también se aplican a la resta vectorial.

Suma de vectores (III)

Como un caso especial, si los dos vectores A y B son colineales, es decir, ambos tienen la misma línea de acción, la ley del paralelogramo se reduce a una suma algebraica o suma escalar R = A + B, como se muestra en la figura 2-5.

Suma de vectores (II)

También podemos sumar B a A, figura 2-4a, mediante la regla del triángulo, que es un caso especial de la ley del paralelogramo, donde el vector B se suma al vector A en una forma de “cabeza a cola”, es decir, se conecta la cabeza de A a la cola de B, figura 2-4b. La resultante R se extiende desde la cola de A hasta la cabeza de B. De la misma manera, R también se puede obtener al sumar A y B, figura 2-4c.
Por comparación, se ve que la suma vectorial es conmutativa; en otras palabras, los vectores pueden sumarse en cualquier orden, es decir, R = A + B = B + A.

Suma de vectores (I)

Todas las cantidades vectoriales obedecen la ley del paralelogramo para la suma. A manera de ilustración, los dos vectores “componentes” A y B de la figura 2-3a se suman para formar un vector “resultante” R = A + B mediante el siguiente procedimiento:
• Primero, una las colas de los componentes en un punto de manera que se hagan concurrentes, figura 2-3b.
• Desde la cabeza de B, dibuje una línea paralela a A. Dibuje otra línea desde la cabeza de A que sea paralela a B. Estas dos líneas se intersecan en el punto P para formar los lados adyacentes de un paralelogramo.
• La diagonal de este paralelogramo que se extiende hasta P forma R, la cual representa al vector resultante R = A + B, figura 2-3c.

Multiplicación y división de un vector por un escalar.

Si un vector se multiplica por un escalar positivo, su magnitud se incrementa en esa cantidad. Cuando se multiplica por un escalar negativo también cambiará el sentido de la dirección del vector. En la figura 2-2 se muestran ejemplos gráficos de estas operaciones.

Escalares y vectores (II)

Vector. Un vector es cualquier cantidad física que requiere tanto de magnitud como de dirección para su descripción completa. En estática, algunas cantidades vectoriales encontradas con frecuencia son fuerza, posición y momento. Un vector se representa gráficamente mediante una flecha. La longitud de la flecha representa la magnitud del vector
y el ángulo θ entre el vector y un eje fijo define la dirección de su línea de acción. La cabeza o punta de la flecha indica el sentido de dirección del vector, como se ve en la figura 2-1.
En trabajos impresos, las cantidades vectoriales se representan mediante caracteres en negritas como A, mientras que la magnitud del vector se escribe con letras itálicas, A. Para trabajos manuscritos, casi siempre es conveniente denotar una cantidad vectorial con sólo dibujar una flecha sobre el carácter, A
:
.

Escalares y vectores (I)

Todas las cantidades físicas en ingeniería mecánica pueden medirse mediante escalares o vectores.

Escalar.

 Un escalar es cualquier cantidad física positiva o negativa que se puede especificar por completo mediante su magnitud. La longitud, la masa y el volumen son ejemplos de cantidades escalares.

Vectores fuerza

• Mostrar cómo se suman las fuerzas y cómo se obtienen sus componentes con la ley del paralelogramo.
•  Expresar una fuerza y su posición en forma de un vector cartesiano y explicar cómo se determina la magnitud y la dirección del vector.
•  Presentar el producto punto a fin de determinar el ángulo entre dos vectores o la proyección de un vector sobre otro.

EJEMPLO 3

Evalúe cada una de las siguientes operaciones y exprese la respuesta en unidades SI con un prefijo adecuado: (a) (50 mN)(6 GN), (b) (400 mm)(0.6 MN)², (c) 45 MN³/900 Gg.

Convierta las cantidades 300 lb * s y 52 slug/pie³ a las unidades SI adecuadas.

SOLUCIÓN
Con la tabla 1-2, 1 lb = 4.448 2 N.

Convierta 2 km/h a m/s, ¿cuánto es esto en pies/s?

SOLUCIÓN
Como 1 km = 1000 m y 1 h = 3600 s, los factores de conversión se ordenan de la siguiente manera, para que pueda aplicarse una cancelación de unidades:

Procedimiento general para el análisis - Puntos importantes

• La estática es el estudio de los cuerpos que están en reposo o que se mueven con velocidad constante. 

• Una partícula tiene masa pero posee un tamaño que se puede pasar por alto. 

• Un cuerpo rígido no se deforma bajo carga. 

• Se supone que las cargas concentradas actúan en un punto sobre un cuerpo. 

• Las tres leyes del movimiento de Newton deben memorizarse. 

• La masa es una medida de cantidad de materia que no cambia de una ubicación a otra. 

• El peso se refiere a la atracción gravitacional de la Tierra sobre un cuerpo o una cantidad de masa. Su magnitud depende de la elevación a la que se encuentra la masa. 

• En el sistema SI, la unidad de fuerza, el newton, es una unidad derivada. El metro, el segundo y el kilogramo son unidades base. 

• Los prefijos G, M, k, m, y n se usan para representar cantidades numéricas grandes y pequeñas. Es necesario conocer su tamaño exponencial junto con las reglas para usar las unidades SI. 

• Realice los cálculos numéricos con varias cifras significativas, y después exprese la respuesta final con tres cifras significativas.

 • Las manipulaciones algebraicas de una ecuación se pueden revisar en parte al verificar que la ecuación permanece dimensionalmente homogénea. 

• Es necesario conocer las reglas para redondear números.

Procedimiento general para el análisis

La forma más efectiva de aprender los principios de la ingeniería mecánica es resolver problemas. Para tener éxito en ello, es importante siempre presentar el trabajo de una manera lógica y ordenada, como indica la siguiente serie de pasos:
• Lea el problema con cuidado y trate de correlacionar la situación física real con la teoría estudiada.
• Tabule los datos del problema y dibuje cualquier diagrama que sea necesario.
• Aplique los principios relevantes, por lo general en una forma matemática. Cuando escriba ecuaciones, asegúrese de que sean dimensionalmente homogéneas.
• Resuelva las ecuaciones necesarias y exprese la respuesta con no más de tres cifras significativas.
• Estudie la respuesta con juicio técnico y sentido común para determinar si parece razonable o no.

Cálculos numéricos Cálculos.

Cuando se realiza una sucesión de cálculos, se recomienda lmacenar los resultados intermedios en la calculadora. En otras palabras, no redondee los cálculos hasta expresar el resultado final. Este procedimiento mantiene la precisión a través de la serie de pasos realizados hasta la solución final. Por lo general, en este texto redondearemos las respuestas a tres cifras significativas puesto que la mayoría de los datos en ingeniería mecánica, como medidas geométricas y cargas, puede medirse de manera confiable con esta exactitud.

Cálculos numéricos Redondeo de números.

El redondeo de un número es necesario para que la exactitud del resultado sea la misma que la de los datos del problema. Como regla general, cualquier cifra numérica que termine en cinco o más se redondea hacia arriba, y un número menor que cinco se redondea hacia abajo. Las reglas para redondear números se ilustran de mejor manera con ejemplos. Suponga que el número 3.5587 debe redondearse a tres cifras significativas.
Como el cuarto dígito (8) es mayor que 5, el tercer número se redondea hacia arriba a 3.56. De la misma manera, 0.5896 se convierte en 0.590 y 9.3866 en 9.39. Si redondeamos 1.341 a tres cifras significativas, como el cuarto dígito (1) es menor que 5, entonces obtenemos 1.34. Asimismo 0.3762 se convierte en 0.376 y 9.871 en 9.87. Hay un caso especial para cualquier número que tiene un 5 con ceros que lo siguen. Como regla general, si el dígito que precede al 5 es un número
par, dicho dígito no se redondea hacia arriba. Si el dígito que precede al 5 es un número impar, éste se redondea hacia arriba. Por ejemplo 75.25 redondeado a tres cifras significativas se convierte en 75.2, 0.1275 se convierte en 0.128 y 0.2555 en 0.256.

Cálculos numéricos Cifras significativas

El número de cifras significativas contenidas en cualquier número determina la exactitud de éste. Por ejemplo, el número 4981 contiene cuatro cifras significativas. Sin embargo, si hay ceros al final de un número entero, puede ser poco claro cuántas cifras significativas representa el número.

Cálculos numéricos Homogeneidad dimensional.

Los términos de cualquier ecuación usada para describir un proceso físico deben ser dimensionalmente homogéneos; es decir, cada término debe expresarse en las mismas unidades. Siempre que éste sea el caso, todos los términos de una ecuación pueden combinarse si las variables se sustituyen por valores numéricos.

Tenga en mente que los problemas de mecánica siempre implican la solución de ecuaciones dimensionalmente homogéneas; por lo tanto, este hecho se puede usar como una verificación parcial de las manipulaciones algebraicas de una ecuación.