Suma de vectores cartesianos

La suma (o resta) de dos o más vectores se simplifican considerablemente si los vectores se expresan en términos de sus componentes cartesianas.
Por ejemplo, si A Ax i Ay j Azk y B Bxi By j Bzk, figura 2-29, entonces el vector resultante, R, tiene componentes que representan las sumas escalares de las componentes i, j, k de A y B, es decir,

Vectores cartesianos - Dirección de un vector cartesiano (II)

Vectores cartesianos - Dirección de un vector cartesiano (I)

La dirección de A se definirá mediante los ángulos directores coordenados a (alfa), b (beta) y g (gamma), medidos entre la cola de A y los ejes x, y, z positivos, dado que se localizan en la cola de A, figura 2-26. Observe que independientemente de hacia dónde esté dirigido A, cada uno de esos ángulos estará entre 0° y 180°.
Para determinar a, b y g, considere la proyección de A sobre los ejes x, y, z, figura 2-27. Con referencia a los triángulos rectángulos azules mostrados en cada figura, tenemos

Vectores cartesianos - Magnitud de un vector cartesiano.

Siempre es posible obtener la magnitud de A si está expresado en forma de vector cartesiano. Como se muestra en la figura 2-25, a partir del triángulo rectángulo azul,

Vectores cartesianos - Representación de un vector cartesiano.

Como las tres componentes de A en la ecuación 2-2 actúan en las direcciones positivas i, j y k, figura 2-24, podemos escribir A en forma de vector cartesiano como

Hay una clara ventaja al escribir los vectores de esta manera. Al separar la magnitud y la dirección de cada vector componente se simplificarán las operaciones de álgebra vectorial, particularmente en tres dimensiones.

Vectores cartesianos - Vectores unitarios cartesianos.

En tres dimensiones, el conjunto de vectores unitarios cartesianos i, j, k, se usa para designar las direcciones de los ejes x, y, z, respectivamente. Como se indicó en la sección 2.4, el sentido (o cabeza de la flecha) de estos vectores se representará analíticamente mediante un signo de más o menos, dependiendo de si están dirigidos a lo largo de los ejes x, y o z positivos o negativos. En la figura 2-23 se muestran los vectores unitarios cartesianos positivos.

Vectores cartesianos - Componentes rectangulares de un vector

Un vector A puede tener una, dos o tres componentes rectangulares a lo largo de los ejes coordenados x, y, z, dependiendo de cómo esté orientado con respecto a los ejes. En general, cuando A está dirigido dentro de un octante del marco x, y, z, figura 2-22, entonces, mediante dos aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo, podemos dividir el vector en componentes como A A¿ Az y luego A¿ Ax Ay. Al combinar estas ecuaciones, para eliminar A¿, A se representa mediante la suma vectorial de sus tres componentes rectangulares.
A Ax Ay Az (2-2)

Vectores cartesianos - Sistema coordenado derecho

Usaremos un sistema coordenado derecho para desarrollar la teoría del álgebra vectorial que se presenta a continuación. Se dice que un sistema coordenado rectangular es derecho si el pulgar de la mano derecha señala en la dirección del eje z positivo, cuando los dedos de la mano derecha se curvan alrededor de este eje y están dirigidos del eje x positivo hacia el eje y positivo, figura 2-21.

Vectores cartesianos

Las operaciones del álgebra vectorial, cuando se aplican a la resolución de problemas en tres dimensiones, se simplifican considerablemente si primero se representan los vectores en forma vectorial cartesiana. En esta sección presentaremos un método general para hacer esto; luego, en la sección siguiente aplicaremos este método para encontrar la fuerza
resultante de un sistema de fuerzas concurrentes.

SUMA DE UN SISTEMA DE FUERZAS COPLANARES Ejemplo 3

El extremo de la barra O mostrada en la figura 2-20a está sometido a tres fuerzas coplanares concurrentes. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.

Vector fuerza dirigido a lo largo de una línea - Ejemplo 1

El hombre que se muestra en la figura 2-39a jala la cuerda con una fuerza de 70 lb. Representa esta fuerza al actuar sobre el soporte A como un vector cartesiano y determine su dirección.