Diagrama de cuerpo libre: Resortes

Si un resorte elástico lineal (o cuerda) de longitud no deformada lo se usa como soporte de una partícula, su longitud cambiará en proporción directa a la fuerza F que actúe sobre él, figura 3-1. Una característica que define la “elasticidad” de un resorte es la constante de resorte o rigidez, k.
La magnitud de la fuerza ejercida en un resorte elástico lineal que tiene una rigidez k y está deformado (alargado o acortado) una distancia s = l - lo, medida desde su posición sin carga, es

Diagrama de cuerpo libre

Para aplicar la ecuación de equilibrio debemos tomar en cuenta todas las fuerzas conocidas y desconocidas (ΣF) que actúan sobre la partícula.
La mejor manera de hacer esto es pensar en la partícula como aislada y “libre” de su entorno. Un dibujo que muestra la partícula junto con todas las fuerzas que actúan sobre ella se denomina diagrama de cuerpo libre (DCL).
Antes de presentar un procedimiento formal de cómo trazar un diagrama de cuerpo libre, primero consideraremos dos tipos de conexiones que se encuentran con frecuencia en problemas de equilibrio de partículas.

Condiciones para el equilibrio de una partícula

Se dice que una partícula está en equilibrio si permanece en reposo y en un principio estaba en reposo, o si tiene una velocidad constante y originalmente estaba en movimiento. Sin embargo, más a menudo, el término “equilibrio” o, de manera más específica, “equilibrio estático” se usa para describir un objeto en reposo. Para mantener el equilibrio, es necesario satisfacer la primera ley del movimiento de Newton, la cual requiere que la fuerza resultante que actúa sobre una partícula sea igual a cero. Esta condición puede ser establecida matemáticamente como

Equilibrio de una partícula

OBJETIVOS DEL CAPÍTULO

• Presentar el concepto de diagrama de cuerpo libre para una partícula.
• Mostrar cómo se resuelven los problemas de equilibrio de una par tí cu la, mediante las ecuaciones de equilibrio.

Producto punto

El producto punto entre dos vectores A y B genera un escalar. Si A y B se expresan en forma vectorial cartesiana, entonces el producto punto es la suma de los productos de sus componentes x, y y z.
El producto punto puede usarse para determinar el ángulo entre A y B.
El producto punto también se utiliza para determinar la componente proyectada de un vector A sobre un eje aa que se define por medio de su vector unitario ua.

Vectores de posición y fuerza

Un vector de posición ubica un punto en el espacio con relación a otro. La forma más fácil de formular las componentes de un vector de posición es determinar la distancia y dirección que debe recorrerse a lo largo de las direcciones x, y y z —desde la cola hasta la cabeza del vector.
Si la línea de acción de una fuerza pasa a través de los puntos A y B, entonces la fuerza actúa en la misma dirección que el vector de posición r, que se define mediante el vector unitario u. De esta manera, la fuerza puede expresarse como un vector cartesiano.

Vectores cartesianos

El vector unitario u tiene una longitud de uno, sin unidades, y apunta en la dirección del vector F.
Una fuerza puede descomponerse en sus componentes cartesianos a lo largo de los ejes x, y, z de manera que F = Fx i + Fy j + Fz k.
La magnitud de F se determina a partir de la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de sus componentes.

Componentes rectangulares: dos dimensiones

Los vectores Fx y Fy son componentes rectangulares de F.
La fuerza resultante se determina a partir de la suma algebraica de sus componentes.

Ley del paralelogramo

Dos fuerzas se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. Las componentes forman los lados del paralelogramo y la resultante es la diagonal.
Para encontrar las componentes de una fuerza a lo largo de cualesquiera de los dos ejes, extienda líneas desde la cabeza de la fuerza, paralelas a los ejes, a fin de formar las componentes.

Para obtener las componentes de la resultante, muestre la forma en que se suman las fuerzas de punta a cola usando la regla del triángulo; después utilice la ley de los cosenos y la ley de los senos para calcular sus valores.

Si los vectores son colineales

Si los vectores son colineales, la resultante es simplemente la suma algebraica o escalar.

La multiplicación o la división de un vector

La multiplicación o la división de un vector por, o entre, un escalar sólo cambiará la magnitud del vector.
Si el escalar es negativo, el sentido del vector cambiará de manera que actúe en el sentido opuesto.

Un escalar es un número positivo o negativo

Un escalar es un número positivo o negativo; por ejemplo, masa y temperatura.
Un vector tiene magnitud y dirección, y la punta de la flecha indica el sentido del vector.

Producto punto - Ejemplo 2

Producto punto - Ejemplo 1

Producto punto - Aplicaciones (II)

Las componentes de un vector paralelo y perpendicular a una línea.

La componente de un vector A paralelo a, o colineal con,

Producto punto - Aplicaciones (I)

En mecánica, el producto punto tiene dos importantes aplicaciones.
• El ángulo formado entre dos vectores o líneas que se intersecan.
El ángulo u entre las colas de los vectores A y B que se muestran en la figura 2-42 pueden determinarse mediante la ecuación 2-12 y escribirse como

Producto punto - Formulación vectorial cartesiana.

La ecuación 2-12 debe usarse para hallar el producto punto de cada uno de los dos vectores

Producto punto - Leyes de operación.

1. Ley conmutativa: A * B = B * A
2. Multiplicación por un escalar: a(A * B) = (aA)* B = A*(aB)
3. Ley distributiva: A * (B + D) = (A * B) + (A * D)
Es fácil demostrar la primera y segunda leyes por medio de la ecuación
2-12. La demostración de la ley distributiva se deja como un ejercicio (vea el problema 2-111).

Producto punto

Algunas veces, en estática debemos localizar el ángulo entre dos líneas o las componentes de una fuerza paralela y perpendicular a una línea.
En dos dimensiones, esos problemas pueden resolverse por trigonometría puesto que las relaciones geométricas son fáciles de visualizar. Sin embargo, en tres dimensiones esto suele ser difícil, y en consecuencia deben emplearse métodos vectoriales para encontrar la solución. El producto punto define un método particular para “multiplicar” dos vectores
y se usa para resolver los problemas antes mencionados.
El producto punto de los vectores A y B, que se escribe A # B, y se lee “A punto B”, se define como el producto de las magnitudes de A y B y el coseno del ángulo u entre sus colas, figura 2-42. Expresado en forma de ecuación,

Vector fuerza dirigido a lo largo de una línea - Ejemplo 3

Vector fuerza dirigido a lo largo de una línea - Ejemplo 2

La fuerza que se muestra en la figura 2-40a actúa sobre el gancho.
Exprésela como un vector cartesiano.

Vector fuerza dirigido a lo largo de una línea - Puntos importantes

• Un vector de posición localiza un punto en el espacio con respecto a otro punto.
• La manera más fácil de formular las componentes de un vector de posición consiste en determinar la distancia y la dirección que debe recorrerse a lo largo de las direcciones x, y, z, desde la cola hasta la cabeza del vector.
• Una fuerza F que actúa en la dirección de un vector de posición r puede ser representada en forma cartesiana si se determina el vector unitario u del vector de posición y éste se multiplica por la magnitud de la fuerza, es decir, F = Fu = F(r/r).

Vector fuerza dirigido a lo largo de una línea

Con mucha frecuencia, en problemas tridimensionales de estática, la dirección de una fuerza se especifica por dos puntos a través de los cuales pasa su línea de acción. Tal situación se muestra en la figura 2-38, donde la fuerza F está dirigida a lo largo de la cuerda AB. Podemos formular F como un vector cartesiano al observar que esta fuerza
tiene la misma dirección y sentido que el vector de posición r dirigido desde el punto A hasta el punto B sobre la cuerda. Esta dirección común se especifica mediante el vector unitario u = r/r. Por lo tanto,

Vectores de posición - Ejemplo 1

Una banda elástica de caucho está unida a los puntos A y B como se muestra en la figura 2-37a. Determine su longitud y su dirección medida de A hacia B.

Vectores de posición - Vector de posición. (III)

Así, las componentes i, j, k del vector de posición r pueden formarse al tomar las coordenadas de la cola del vector A(xA, yA, zA) para después restarlas de las coordenadas correspondientes de la cabeza. B(xB, yB, zB).
También podemos formar estas componentes directamente, figura 2-36b, al comenzar en A y recorrer una distancia de (xB xA) a lo largo del eje x positivo ( i), después (yB yA) a lo largo del eje y positivo ( j) y finalmente (zB zA) a lo largo del eje z positivo ( k) para obtener B.

Vectores de posición - Vector de posición. (II)

En el caso más general, el vector de posición puede estar dirigido desde el punto A hasta el punto B en el espacio, figura 2-36a. Este vector también está designado por el símbolo r. A manera de convención, algunas veces nos referiremos a este vector con dos subíndices para indicar desde dónde y hasta qué punto está dirigido. Así, r también puede designarse como rAB. Además observe que rA y rB, en la figura 2-36a están referenciados con sólo un subíndice puesto que se extienden desde el origen de coordenadas.
A partir de la figura 2-36a, por la suma vectorial de cabeza a cola y con la regla del triángulo, se requiere que

Vectores de posición - Vector de posición. (I)

Un vector de posición r se define como un vector fijo que ubica un punto en el espacio en relación con otro punto.
Por ejemplo, si r se extiende desde el origen de coordenadas, O, hasta el punto P(x, y, z), figura 2-35a, entonces r se puede expresar en forma de vector cartesiano como

Vectores de posición - Coordenadas x, y, z.

A lo largo de este libro usaremos un sistema coordenado derecho para hacer referencia a la localización de puntos en el espacio. También usaremos la convención seguida en muchos libros técnicos, la cual exige que el eje z positivo esté dirigido hacia arriba (dirección cenital) de forma que mida la altura de un objeto o la altitud de un punto. Por tanto, los ejes x, y se encuentran en el plano horizontal, figura 2-34. Los puntos en el espacio se localizan con relación al origen de coordenadas, O, por mediciones sucesivas a lo
largo de los ejes x, y, z. Por ejemplo, las coordenadas del punto A se obtienen comenzando en O y midiendo xA 4 m a lo largo del eje x, luego yA 2 m a lo largo del eje y, y finalmente zA 6 m a lo largo del eje z. Así, A(4 m, 2 m, 6 m). De la misma manera, mediciones a lo largo de los ejes x, y, z desde O hasta B generan las coordenadas de B, es decir, B(6 m, 1 m, 4 m).

Vectores de posición

En esta sección presentaremos el concepto de vector de posición. Se mostrará que este vector es importante al formular un vector de fuerza cartesiano dirigido entre dos puntos cualesquiera en el espacio.

Vectores cartesianos Ejemplos 4

Vectores cartesianos Ejemplos 3

Exprese la fuerza F que se muestra en la figura 2-32a como un vector cartesiano.

Vectores cartesianos Ejemplos 2

Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante que actúa sobre el anillo en la figura 2-31a.

Vectores cartesianos Ejemplos 1

Exprese la fuerza F mostrada en la figura 2-30 como un vector cartesiano.

SOLUCIÓN

Como sólo se dan dos ángulos directores coordenados, el tercer ángulo puede ser determinado con la ecuación 2-8; es decir,

Suma de Vectores Cartesianos Puntos importantes

• El análisis vectorial cartesiano se usa a menudo para resolver problemas en tres dimensiones.
• Las direcciones positivas de los ejes x, y, z se definen mediante los vectores unitarios cartesianos i, j, k, respectivamente.

Suma de vectores cartesianos

La suma (o resta) de dos o más vectores se simplifican considerablemente si los vectores se expresan en términos de sus componentes cartesianas.
Por ejemplo, si A Ax i Ay j Azk y B Bxi By j Bzk, figura 2-29, entonces el vector resultante, R, tiene componentes que representan las sumas escalares de las componentes i, j, k de A y B, es decir,

Vectores cartesianos - Dirección de un vector cartesiano (II)

Vectores cartesianos - Dirección de un vector cartesiano (I)

La dirección de A se definirá mediante los ángulos directores coordenados a (alfa), b (beta) y g (gamma), medidos entre la cola de A y los ejes x, y, z positivos, dado que se localizan en la cola de A, figura 2-26. Observe que independientemente de hacia dónde esté dirigido A, cada uno de esos ángulos estará entre 0° y 180°.
Para determinar a, b y g, considere la proyección de A sobre los ejes x, y, z, figura 2-27. Con referencia a los triángulos rectángulos azules mostrados en cada figura, tenemos

Vectores cartesianos - Magnitud de un vector cartesiano.

Siempre es posible obtener la magnitud de A si está expresado en forma de vector cartesiano. Como se muestra en la figura 2-25, a partir del triángulo rectángulo azul,

Vectores cartesianos - Representación de un vector cartesiano.

Como las tres componentes de A en la ecuación 2-2 actúan en las direcciones positivas i, j y k, figura 2-24, podemos escribir A en forma de vector cartesiano como

Hay una clara ventaja al escribir los vectores de esta manera. Al separar la magnitud y la dirección de cada vector componente se simplificarán las operaciones de álgebra vectorial, particularmente en tres dimensiones.

Vectores cartesianos - Vectores unitarios cartesianos.

En tres dimensiones, el conjunto de vectores unitarios cartesianos i, j, k, se usa para designar las direcciones de los ejes x, y, z, respectivamente. Como se indicó en la sección 2.4, el sentido (o cabeza de la flecha) de estos vectores se representará analíticamente mediante un signo de más o menos, dependiendo de si están dirigidos a lo largo de los ejes x, y o z positivos o negativos. En la figura 2-23 se muestran los vectores unitarios cartesianos positivos.

Vectores cartesianos - Componentes rectangulares de un vector

Un vector A puede tener una, dos o tres componentes rectangulares a lo largo de los ejes coordenados x, y, z, dependiendo de cómo esté orientado con respecto a los ejes. En general, cuando A está dirigido dentro de un octante del marco x, y, z, figura 2-22, entonces, mediante dos aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo, podemos dividir el vector en componentes como A A¿ Az y luego A¿ Ax Ay. Al combinar estas ecuaciones, para eliminar A¿, A se representa mediante la suma vectorial de sus tres componentes rectangulares.
A Ax Ay Az (2-2)