COMPARACIÓN DE ELEMENTOS CIRCULARES SÓLIDOS Y HUECOS - II

Ahora el volumen de la flecha hueca es:

COMPARACIÓN DE ELEMENTOS CIRCULARES SÓLIDOS Y HUECOS - I

En muchas situación» dc diseñe, la economía en el uno de material es un importante criterio del desempeño dc un producto. En aplicaciones aeroespaciales, cualquiera reducción en la masa dc la aeronave o vehículo espacial incrementa la carga útil, 

Los automóviles consumen menos combustible cuando son más ligeros. Asimismo, como la materia prima $e adquiere con base en un precio por unidad de masa, una pieza ligera casi siempre cuesta menos. Para economizar material en la fabricación de miembros de carga se requiere que éstos se sometan a un nivel de esfuerzo próximo al esfuerzo de diseño seguro, ve esta manera cada porción del miembro soporta una parte dé la carga, Para ilustrar este punto se pueden usar los ejemplos 5-7 y 5-8. 

Recuerdese que los dos diseños que se ilustran en la figura 5-7 producen el mismo esfuerzo cortante torsional en la flecha de acero. 

El diámetro externo de la flecha hueca es un poco mas grande, pero el volumen de metal es toque determina la masa de la flecha. Considérese un segmento de flecha de l .0 m de longitud. El volumen de la flecha sólida es igual al área de la sección transversal por la longitud.

Ejemplo 7 Resultado

Ejemplo 7

Un diseño Eterno de la flecha del ejemplo 5-7 sería un tubo hueco. Suponga que el tubo de 60 mm de diámetro externo está disponible en el mismo material que se especificó para la flecha sólida (AIS11141 OQT 13Q0) Calcuta el diámetro interno máximo que el tubo puede tener para que se produzca un esfuerzo en el acero igual al da la flecha sólida da 50 mm.

Ejercicio Programado - III

Ejercicio Programado - II

Ejercicio Programado - I

La trasmisión de una transportadora que alimenta carbón a un carro de ferrocarril es una flecha que se somete a torsión pura y que trasmite un par de torsión de 800N.m un diseño propuesto exige que la flecha tenga una sección transversal sólida. Complete el diseño y especifique primero un acero conveniente para la flecha y luego el diámetro

DISEÑO DE ELEMENTOS CIRCULARES SOMETIDOS A TORSIÓN - IV

La ecuación (5-17) da el valor que se requiere del módulo de sección polar de una flecha circular que limita el esfuerzo constante torsional AT cuando se somete a un par de torsión T luego la ecuación (5-15) se usa para determinar el diámetro necesario de una flecha circular sólida. Resolviéndola para D se tiene

En este caso, uno de los diámetros O la relación entre los dos diámetros se tendría que especificar para definir la geometría completa de la flecha hueca

DISEÑO DE ELEMENTOS CIRCULARES SOMETIDOS A TORSIÓN - III

Ahora conviene señalar que si forma el cociente J/c, se obtiene una expresión simple que incluye D En el estudio de la resistencia de materiales, el termino J/c recibe el nombre de módulo de sección polar, y se usa el símbolo Z, para denotarlo

DISEÑO DE ELEMENTOS CIRCULARES SOMETIDOS A TORSIÓN - II

Donde los valores de S, no están disponibles, pero se pueden calcular como S. Así se obtienen valores razonables y, por lo general, conservadores, para metales, en especial el acero. Por consiguiente :

En un problema de diseño el par de torsión T se debe conocer. Luego, en la ecuación (5-11, sólo cy J no se conocen. Nótese que tanto C como J son propiedades geométricas del miembro que se va a diseñar. En el caso de miembros circulares sólidos (felchas) diámetro define la geometría por completo. Se demostró que :

DISEÑO DE ELEMENTOS CIRCULARES SOMETIDOS A TORSIÓN - I

En un problema dc-diseño, se conocen las cargas que actúan en un elemento, y se requiere determinar su geometría para garantizar que las soportará con seguridad. La selección del material y la determinación tic tos esfuerzos de diseño son partes integrales del proceso de di seño. Las técnicas pítese desarrollan en esta sección son $óio para miembros circulares, sometidos a torsión. Desde luego, se analizan miembros circulares tanto sólidos como huecos. La torsión en miembros circulares se estudia en una sección posterior de este capitulo. La combinación de torsión con flexión y cargas axiales se presenta en tos capítulos I0y II. La ecuación (5 -11 j para el esfuerzo cortante torsional básico, se expreso como:

Resumen de las relaciones para esfuerzos cortantes torsionales en barras circulares huecas.

Ejemplo 6

Para la fecha motriz de helice de la figura 5-2 calcule el esfuerzo cortante torsional cuando se transmite un par de torsión de 1.76 kN.m la fecha es un hueco de 60mm de diámetro externo y 40 mm de diámetro interno. Determine los esfuerzos en las superficies externa e interna

Momento polar de inercia de una barra hueca

La derivación de la formula del momento polar de inercia de una barra es similar a la que se usó en el caso de la barra sólida

Recúrrase de nuevo a la figura 5-6 por lo que se refiere a la geometría partiendo de la definición básica del momento polar inercia:

Como con anterioridad, dA = 2 dr Pero el caso de la barra hueca, r varia únicamente de R, a R Luego:

Ésta es la ecuación para el momento polar de inercia de una barra circular.

ESFUERZO CORTANTE TORSIONAL Y MOMENTO POLAR DE INERCIA DE UNA BARRA CIRCULAR HUECA

Más adelante se demostrará que existen muchas ventajas al UTILIZAR una barra circular hiteca.cn comparación con una sólida, para transmitir un par de torsión. En esta sección se estudia el método de calcular el ezfuerzo cortante máximo y el momento polar de inercia dc una barra hueca, 

La figura 5-6 muestra la geometría básica de una barra hueca, I Las variables son:

La lógica y los detalles del desarrollo de la fórmula para esfuerzo cortante torsional como se muestran en la sección 5-4 se aplican también tanto a una barra hueca como a una sólida La diferencia entre ellas radica en la evaluación del momento polar de inercia, como se verá más adelante. 

Por consiguiente, se puede usarla ecuación (5-5) o la (5 – 11) para calcular el esfuerzo cortante torsional máximo va sea en una barra sólida o en una hueca. Además, tal como se ilustra en la figura 5-6, el esfuerzo cortante máximo ocurre en la superficie externa de la barra y el esfuerzo varia linealmente con la posición radial en el interior de la barra. El esfuerzo cortante mínimo ocurre en la superficie interna.

El esfuerzo cortante en cualquier posición radial se calcula con la ecuación (5-7) o la (5-9)

MOMENTO POLAR DE INERCIA DE BARRAS CIRCULARES SÓLIDAS

Recurra a la figura 5-5 que muestra una sección transversal circular sólida. Para evaluar J con :

Se considera que dA es el área de un pequeño anillo de espesor dr que se localiza a una distancia r del centro de la sección Con dr de pequeña magnitud, el área es la de un listón de longitud igual a la circunferencia de la anillo por su espesor.

Por consiguiente, el momento polar de inercia de toda la seccion tranversal se determina cuando se integra desde r=0 en el centro de la barra hasta r=R en la superficie exterior

En general, conviene más usar el diamtro en lugar del radio. Luego como R=D/2

DERIVACION DE LA FORMULA PARA EL ESFUERZO CORTANTE TORSIONAL - III

El método de evaluar J se describe en la siguiente sección. La ecuación (5-11, que es idéntica a la ecuación (5-5, se usa para calcular esfuerzo cortante máximo en una barra circular sujeta a torsión. El esfuerzo cortante máximo se presenta en cualquier parte de la superficie exterior de la barra

DERIVACION DE LA FORMULA PARA EL ESFUERZO CORTANTE TORSIONAL - II

Es de hacerse notar que el esfuerzo cortante f actúa de modo uniforme en una pequeña área anular, dA, de la flecha, como se ilustra en la figura 5-5. Ahora bien, como la fuerza es igual al esfuerzo por el área, la fuerza en el área de dA :

El siguiente paso es considerar que el par de torsión dT se genero por esta fuerza es el producto de dF por la distancia radial a dA Luego:

Esta ecuación es el par de torsión resistente interno desarrollado en la pequeña área dA. El par de torsión total que actúa en toda el área seria la suma de todos los pares de torsión individual que actúan en todas las áreas de sección transversal. El proceso de suma se logra mediante la técnica matemática de integración, que a continuación se ilustra

En el proceso de integración, las contantes tales como r y c se sacan del signo integral, y la ecuación de escribe como:

DERIVACION DE LA FORMULA PARA EL ESFUERZO CORTANTE TORSIONAL - I

La forma estándar de la fórmula para el es fuer/, o cortante torsional en una barra circular que se sometió a un par detorsión ex temo se presentó como Inecuación (5-5)y su uso se ilustro en los ejemplos 5-4 y 5-5. Esta sección demostrará la derivación de dicha formula. Las figuras 5-3 y 5- 4 ilustran la naturaleza general de las cargas de

torsión v el efecto del par de torsión en el comportamiento de la barra circular 

En esta derivación, se supone que el material de la barra se comporta según la ley de Hooke; esto es, el estuca es directamente proporcional a la deformación. propiedades de la barra son homogéneas e isotópicas; es decir, el material reacciona igual. Asimismo, se supone que la barra es de sección transversal constante cerca de la sección de interés, 

Si se consideran dos secciones transversales M y N en diferentes lugares de la barra, y si la sección N gira a un Angulo 0 con respecto a la sección M las fibras del material experimentarán una deformación que alcanza su valor máximo en la superficie externa de la barra y que varia linealmente con la posición radial hasta un valor nulo en el centro de la misma. 

Puesto que en el caso de materiales elásticos que obedecen a la Ley Hooke, el esfuerzo es proporcional a la deformación, el esfuerzo máximo también ocurrirá en el exterior de la barra, como se muestra en la figura 5-4 Se muestra también ocurrirá en el lineal del esfuerzo R como la posición radial r en la sección transversal. Así pues, por la proporción de triángulos semejantes

Por consiguiente, el esfuerzo cortante en cualquier radio puede expresarse como una función del esfuerzo cortante máximo que actúa en la superficie externa de la flecha

Ejemplo 4

Calculé el esfuerzo cortante torsional máximo en la porción media. Donde el diámetro es do 9 5 mm. De la extensión de la llave de cubo que so exhibe en lo figura 5-1. El par de Torsión aplacado es de 10.0 N m

ESFUERZO CORTANTE TORSIONAL EN ELEMENTOS ESTRUCTURALES DE SECCIÓN TRANSVERSAL CIRCULAR -IV

Por la variación lineal del esfuetvo y l¡» deformación con la posición en la barra como se ilustra en la figura 5-4, el esfuerzo, r, en cualquier posición radml, r, puede calcularse por medio de;

Las ecuaciones (5-5). (5-6)y (5-7) se usan para calcular el esfuerzo cortante en un punto cualquiera de una barra circular sujeta a un par de torsión externo. Los ejemplos siguientes ilustran el uso de estas ecuaciones.

ESFUERZO CORTANTE TORSIONAL EN ELEMENTOS ESTRUCTURALES DE SECCIÓN TRANSVERSAL CIRCULAR -III

La derivación de la formula para el esfuerzo cortante máximo que actúa en la superficie externa de la barra de demostrará en que la siguiente sección. Por ahora, se establece la formula para el esfuerzo cortante torsional como:

ESFUERZO CORTANTE TORSIONAL EN ELEMENTOS ESTRUCTURALES DE SECCIÓN TRANSVERSAL CIRCULAR -II

El elemento sometido a esfuerzo cortante de la figura 5-3 en realidad es el miembro de la figura 1-15 utilizando en el análisis del esfuerzo cortante directo. Si bien la forma en que se produce los esfuerzos difiere, la naturaleza del esfuerzo cortante torsional es la misma del esfuerzo cortante directo en el caso de un elemento infinitesimal 

 Cuando la barra vircular se somete al par de torsión externo, el material en cada uno de sus secciones se deforma de tal modo que las fribras en la superficie externa experimetan la máxima deformación. En el eje centra de la barra, nose produce deformación entre el centro y la superficie externa, existe una variación lineal d ela deformación en la posición radial R 

Como el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación se puede decir que el esfuerzo cortante máximo ocurre en las superficies externa, que aun una variación lineal del esfuerzo con la posición radial R y que en centro ocurre un nivel de esfuerzos nulo

ESFUERZO CORTANTE TORSIONAL EN ELEMENTOS ESTRUCTURALES DE SECCIÓN TRANSVERSAL CIRCULAR -I

Cuando un miembro estructural se somete a un par de torsión externo, en el material del que está hecho el miembro estructural se desarrolla un par de torsión resistente interno, el cual es el resultado de los esfuerzos generados en el material La figura í1 1 ja) muestra una barra circular que se sometió a un par de torsión, T L.i sección A/gira con respecto a la sección Xf como se indica

Si se aísla un elemento en la superficie de la barra, se verá que se sometió a fuerzas cortantes que actúan en I.LS CARIS paralelas a las secciones transversales My N, como se ilustra, Estas fuerzas cortantes crean esfuerzos cortantes en el elemento l'ani que el elemento sujeto a esfuerzo esté en equilibrio, en las caras superior e inferior del elemento deben actuar esfuerzos cortantes de la misma magnitud.

Ejemplo 3

Calcule la potencia, en caballos de fuerza, transmitida por una flecha que genera un par De torsión de 15 000 Ib- plg a 525 rpm

Unidades estadounidenses.

Las unidades características de par de torsión, potencia y velocidad de rotación en el sistema estadounidense de medidas, un;

Ejemplo 2

Sistema métrico decimal

La potencia de define como la velocidad de transferencia de energía. En el SI el JOUDE es la unidad estándar de energía y equivale a N- m la unidad estándar de par de torsión. Es decir

PAR DE TORSIÓN, POTENCIA Y VELOCIDAD DE ROTACIÓN – III

Ésta es una relación do suma utilidad porque, con dos valores que se conozcan de P, n o T, se puede calcular el tercero. 1 la de prestarse una especial atención a las unidades cuando se trabaje con par de torsión, potencia y velocidad de rotación 

Las unidades apropiadas del SI y del sistema estadounidense se repasan a continuación,

PAR DE TORSIÓN, POTENCIA Y VELOCIDAD DE ROTACIÓN – II

La figura 5 - 2 muestras el sistema propulsor de un bote. La potencia que se genera por el motor fluye a través de la transmisión y la flecha motriz hacia la hélice, la cual impulsa al bote hacia adelante. El cigüeñal en el interior del motor, las diversas flechas de transmisión de potencia que componen la transmisión y la flecha motriz experimentan torsión. 

La magnitud del par de torsión en una flecha de transmisión de potencia depende de la cantidad de potencia que soporta y de la velocidad de rotación, según la siguiente relación:

Ejemplo 1

Para la llave de la figura 5-1, calculo la magnitud del par de torsión que se aplicó al pomo si se ejerce una fuerza da 50 N en un punto a 250 mm del eje del cubo,

PAR DE TORSIÓN, POTENCIA Y VELOCIDAD DE ROTACIÓN - I

Una tarea necesaria cuando se trata de calcular el esfuerzo cortante torsional y la deflexión torsional es la comprensión del concepto de par de torsión y la relación entre las variables criticas que interviene en la transformación de potencia: Par de torsión, potencia y velocidad de rotación 

 La figura muestra una llave de cubo con extensión que se utiliza para apretar un perno. El par de torsión, que se aplica tanto al perno, como a la extensión, es el producto

OBJETIVOS DE ESTE CAPÍTULO

Torsión se refiere a la carga de un miembro estructura] que tiende a torcerlo. Semejante carga se llama par de torsión, momento de torsión o par. 

Cuando se aplica un par de torsión a un miembro estructural, tal como una flecha circular, se genera esfuerzo cortante en ella y se crea una deflexión torsional, la cual produce un ángulo de torsión en un extremo de la flecha con respecto al otro. 

Después de terminar el estudio de este capítulo, el lector será capaz de:

Resumen.

El análisis del problema 4-10 se puede generalizar para cualquier situación en la que dos o más elementos estructurales hechos de diferentes materiales compartan las cargas siempre y cuando experimenten deformaciones iguales, 

Si se remplazan los subíndices s y c en el análisis precedente por los subíndices más generales 1 y 2, las ecuaciones (4-12) y (4-10) se plantean como sigue:

Ejemplo 5

Elementos estructurales hechos de más de un material - III

Ahora considérese  la carga :