DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO EN LA SECCIÓN TRANSVERSAL DE UNA VIGA - III

La forma general de la distribución del esfuerzo mostrada en la figura 8-6 podría ocurrir en cualquier sección de viga cuyo eje centroidal sea equidistante de las caras superior e inferior, F;.n tales casáis, el esfuerzo de compresión máximo sería igual al es- fuerzo de tensión máximo. Si el eje cenlroidal de la sección no está a la misma distancia de lascaras superior e inferior, la distribución del esfuerzo sería la mostrada en la figuro ¡S 7. Con todo, el esfuerzo en el eje neutro sería de cero. 

No obstante, el esfuerzo varía lineal mente con la distancia al eje neutro. Ahora bien, el esfuerzo máximo en la cara inferior de la sección es mayor que aquel en la cara superior porque está más alejado del eje neutro. Con las distancias ct,y c,tal como se indican en la figura 8 7„ los esfuerzos serían:

 

DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO EN LA SECCIÓN TRANSVERSAL DE UNA VIGA - II

DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO EN LA SECCIÓN TRANSVERSAL DE UNA VIGA - I

Recúrrase de nuevo a la figura 8-2 que muestra cómo se deforma un segmento de viga por la influencia de un momento flexionante. El segmento sume la forma “flexionada” característica al acortarse las fibras superiores y al alargarse las fibras interiores. El eje neutro que coinciden con el eje neutro dela sección transversal de la viga, se flexiona pero no se deforma. Por consiguiente, en el eje neutro el esfuerzo causado por flexión es cero

Si se desea representar el esfuerzo en algún punto de la sección transversal, puede expresarse en función del esfuerzo máximo teniendo en cuenta su variación lineal con la distancia al eje neutro. Si esa distancia se designa y se puede escribir una ecuación para el esfuerzo ,O, en cualquier punto como 

CONDICIONES PARA EL USO DE LA FÓRMULA DE FLEXIÓN - III

CONDICIONES PARA EL USO DE LA FÓRMULA DE FLEXIÓN - II

CONDICIONES PARA EL USO DE LA FÓRMULA DE FLEXIÓN - I

La aplicación adecuada de la fórmula de flexión requiere que se entiendan las condiciones en las cuales es válida, descritas a continuación; 

1 - La viga debe ser recia o casi recta. 

2. La sección transversal de la viga debe ser uniforme. 

3. Todas las caigas y las reacciones en los apoyos deben actuar perpendiculares eje de la viga, 

4. La viga no debe torcerse al momento de aplicarle las cargas. 

5. La viga debe ser relativamente larga y angosta con respecto a su peralte

Si bien la lista de condiciones parece larga, la formula sigue siendo válida para una amplia variedad de casos reales. Las vigas que violan algunas de las condiciones se analizan con una formula modificada o con método de esfuerzo combinando. Por ejemplo, en el caso de la condición 2, un cambio en la sección transversal provocará concentraciones de esfuerzo que se manejan como se describe en la sección 8-9. Lo esfuerzos flexiónate y axial o lo esfuerzos flexionante y torsial combinados que se producen por violan la condición 3

Ejemplo - Solución - Resultados

Solución Objetivo Calcular el esfuerzo máximo causado por la Flexión

Datos La viga y la carga mostradas en la figura 8-3.

Ejemplo -

Para la viga mostrada en la figura e-3, calcule et esfuerzo máximo causado por flexión. La sección transversal de la viga es un rectángulo de 1 DO mm de alto x25 mm de ancho, La carga a la mitad de la viga es de 1500 N( y ésta mide 3.40 m.

Instrucción para aplicar la fórmula de flexión

FÓRMULA DE FLEXIÓN - III

A continuación se enuncia la fórmula de flexión que se usa para calcular es esfuerzo máximo producido por flexión

FÓRMULA DE FLEXIÓN - II

La parte b muestra el mismo segmento deformado por la aplicación del momento flexionante. As líneas que inicialmente eran rectas se curvan. Los extremos del segmento inicialmente recto y vertical, ahora están inclinados por haber girado con respecto al eje centroidal de la sección transversal de la viga. El resultado es que el material a lo largo de la cara superior se somete a compresión y, por consiguiente, se acorta. Por otra parte el material a lo largo de la cara inferior se somete a tensión y se alarga

También se puede concluir que, si la parte superior de la viga está a compresión y la inferior a tensión, entonces debe haber un lugar en la viga donde no haya ninguna deformación. Ese lugar se llama EJE NEUTRO y más adelante se demostrara que coincide con el EJE centroidal de la viga. Es suma, se concluye que:

FÓRMULA DE FLEXIÓN - I

Las vigas han de diseñarse para quesean seguras. Cuando se aplican cargas perpendiculares ¿ti eje mayor de una viga, se producen momentos flexionantes en su interior, que hacen que se flexión. Si se observa una viga esbelta, la forma característicamente curva mostrada en la figura 8-1 es evidente. Las fibras de la viga próximas a su cara superior se acortan y se ven sometidas a compresión. Por otra parte, tas fibras próximas a la cara inferior se alargan y se ven sometidas a tensión. De la viga de la figura 8-1 se toma un segmento corto y en la figura 8-2 se ilustra el cambio de forma que sufriría por la influencia de los momentos flexionanates internos. En la parte (a) el segmento tiene su forma recta original cuando no está sometido a carga.

 

Objetivos

El momento flexionante en cualquier punto de una viga. El momento flexionante y desarrolle esfuerzos en sus fibras. La magnitud de los esfuerzos así desarrollados depende del momento de inercia de la sección transversal calculo con los métodos expuestos. Este capítulo utiliza la información de los capítulos procedentes para calcular el esfuerzo por flexión en vigas. 

Los objetivos específicos son: 

1. Aprender el enunciado de la fórmula de flexión y aplicarla debidamente en el cálculo del esfuerzo máximo causado por flexión en las fibras externas de una viga 

2. Poder calcular el esfuerzo en cualquier punto de la sección transversal de una viga describir la variación del esfuerzo con la posición en la misma 

3. Entender las condiciones para el uso de la fórmula de flexión

MOMENTO DE INERCIA DE PERFILES CUYAS PARTES SON TODAS RECTANGULARES - III

MOMENTO DE INERCIA DE PERFILES CUYAS PARTES SON TODAS RECTANGULARES - II

Este proceso se presta muy bien pan su cálculo automático oqn una calculadora programable, un programa de cómputo o una hoja de cálculo. Como ilustración la figura 7-16 cuyo el cálculo de su momento de inercia se hizo en el ejemplo 7-5 con el teorema de la transferencia del eje. Los resultados son, por supuesto, idénticos. Véase también la figura 7-17 que muestra los datos. Nótese que hay líneas en blanco en la hoja de cálculo porque se dejó espacio hasta para seis partes de la sección compuesta mientras que esta tiene sólo dos. La hoja de cálculo se podría expandir para incluir cualquier numero

 

MOMENTO DE INERCIA DE PERFILES CUYAS PARTES SON TODAS RECTANGULARES - I

A continuación se describe un método para calcular el momento de inercia de perfiles especiales que pueden dividirse en partes, las cuales son rectángulos con sus lados perpendiculares y paralelos al eje de interés. Un ejemplo seria la figura T que se analizó. El método es un poco más simple que el método descrito en la sección 7-6, donde se usó el teorema de la transferencia del eje aunque ambos métodos se basan en los mismos principios fundamentales El método incluye los siguientes pasos: 

SECCIONES COMPUESTAS HECHAS DE PERFILES COMERCIALMENTE DISPONIBLES - Ejemplo - Resultado

SECCIONES COMPUESTAS HECHAS DE PERFILES COMERCIALMENTE DISPONIBLES - Ejemplo - Solución

SECCIONES COMPUESTAS HECHAS DE PERFILES COMERCIALMENTE DISPONIBLES - Ejemplo

Ejemplo Calcule el momento de inercia de la viga en I compuesta expuesta en la figura 7-14 con 7-6 respecto a su eje controidal. El perfil se formó soldando una placa de 0.50 plg de espesor por 6,00 plg de ancho a tos patines superior e inferior para incrementar la rigidez de la viga en I de aluminio estándar. 

SECCIONES COMPUESTAS HECHAS DE PERFILES COMERCIALMENTE DISPONIBLES

En la sección 1-16 se describieron perfiles estructurales de madera, acero y aluminio comercialmente disponibles. En las siguientes tablas de apéndices se dan propiedades de tamaños representativos de estos perfiles.

Además de ser excelentes para usarse como vigas, estos perfiles con frecuencia se combinan para formar perfiles compuestos especiales con propiedades mejoradas. Cuando se utilizan por separado, las propiedades pura diseñar se pueden leer directamente en las tablas de áreas, momentos de inercia y dimensiones pertinentes. Cuando se combinan para formar perfiles compuestos, se requiere el área y el momento de inercia de tas perfiles componentes con respecto a sus propios ejes ccntroidales y estos datos se pueden leer en las tablas, Asimismo, las labias dan la localización del centroide de per files a menudo requerido para las distancias necesarias para calcular el termino de transferencia del cje./M2, en el cálculo del momento de inercia. I JOS ejemplos siguientes ilustran estos procesos.

DEFINICIÓN MATEMÁTICA DEL MOMENTO DE INERCIA - III

DEFINICIÓN MATEMÁTICA DEL MOMENTO DE INERCIA - II

La distancia Y, es la distancia del eje centroidal al centroide del área elemental mostrando. La sustitución de estos valores en la ecuación (7-4) permite la derivación de la para el momento de inercia del rectángulo con respecto a su eje centraídal que la integración por toda el área requiere que los límites de la integral vayan de –h/2 a +h/2
 

DEFINICIÓN MATEMÁTICA DEL MOMENTO DE INERCIA - I

Según el planteamiento de la sección 7-4, el momento de inercia. I, se define como la suma de los productos que se obtienen al multiplicar cada elemento del área por el cuadrado de su distancia al eje de referencia, La fórmula matemática para el momento de inercia se desprende de esa definición y a continuación se da. Nótese que el proceso de sumar por toda el área se logra mediante integración 

La figura 7-13 ilustra los términos de esta fórmula para el caso especia! de un rectángulo para d que se pretende calcular el momento de inercia con respecto a su eje centroida] El elemento infinitesimal de área se muestra como una tira delgada paralela al eje centroidal donde su ancho es el ancho total del rectángulo, b, y su espesor es un valor infinitesimal dy. Por lo tanto el área del elemento es:

 

Ejemplo 1 - Resultado - II

Ejemplo 1 - Resultado - I

Ejemplo 1 - Solución

Ejemplo 1

Calcule el momento de inercia de la forma T expuesta en la figura 7-11 con respecto a su eje centroidal

MOMENTO DE INERCIA DE FORMAS COMPUESTAS-CASO GENERAL-USO DEL TEOREMA DE LA TRANSFERENCIA DEL EJE - IV

Un los ejemplos 7-5,7 6 y 7-7 se demuestra el uso de la tabla y las indicaciones generales La ventaja de usar este tipo de tabla se vuelve mayor conforme los componentes aumentan. Asimismo, el uso de un programa de hoja de cálculo para realizar los cálculos idóneos es muy conveniente.

MOMENTO DE INERCIA DE FORMAS COMPUESTAS-CASO GENERAL-USO DEL TEOREMA DE LA TRANSFERENCIA DEL EJE - III

La ecuación 7-5 se conoce como el teorema de una trasferencia del eje porque define cómo transferir momento de inercia de una rea de un eje cualquier eje paralelo. Tal como se aplica que, los dos ejes son el eje centroideal de la parte componente y el eje centroidal de la sección compuesta. Para cada una de las partes de una sección comparta, la suma I + Ad2 es la medida de su contribución al momento total de inercia La ejecución del Procedimiento general para calcular el momento de inercia de una forma compuesta se facilita con la preparación de una tabla que puede ser una ampliación de la utilizada en la sección 7-3 para localizar el cetroide de un perfil. El diseño general de esta tabla se da a continuación

 

MOMENTO DE INERCIA DE FORMAS COMPUESTAS-CASO GENERAL-USO DEL TEOREMA DE LA TRANSFERENCIA DEL EJE - II

Este teorema se puede aplicar para calcular el momento de inercia total de una forma compuesta general, siguiendo el procedimiento siguiente. Es este caso, el eje de interés es el eje centroideal de la forma compuesta que se debe localizar con el método propuesto en la sección

MOMENTO DE INERCIA DE FORMAS COMPUESTAS-CASO GENERAL-USO DEL TEOREMA DE LA TRANSFERENCIA DEL EJE - I

Cuando una sección compuesta consta de partes cuyos ejes centroidales no coinciden con el eje centroidal de la sección completa el proceso simple de sumar los valores de I de las partes no se puede usar. Se tiene que aplicar el teorema de la transferencia del eje
 El enunciado general del teorema de la trasferencia del eje es:

MOMENTO DE INERCIA DE FORMAS COMPUESTAS CUYOS COMPONENTES TIENEN EL MISMO EJE CENTROIDAL - Ejemplo

Calcule el momento de inercia de la forma mostrada en fa figura 7-10 con respecto a su eje centroidal

MOMENTO DE INERCIA DE FORMAS COMPUESTAS CUYOS COMPONENTES TIENEN EL MISMO EJE CENTROIDAL - I

Un perfil compuesto es el integrado por dos o más componentes que por si mismos son perfiles simples de los cuales hay fórmulas para calcular su momento de inercia, I. Un caso especial es cuando todas las partes tienen el misma eje centroidal. En tal caso el momento de inercia del perfil compuesto se determina combinando los valores de I de todas las partes de acuerdo con la regla siguiente: La figura muestra un ejemplo de un perfil, compuesto de un vástago central vertical de 30 mm de ancho y 80 mm de altura, y dos partes laterales de 30 mm de ancho y 40 mm de altura. Nótese que el eje centroidal de tas partes coincide con el eje centroideal x-x de la sección compuesta La regla que se acaba de enunciar se acaba de enunciar se puede usar entonces para calcular el valor total de I para la cruz cuando se suman los valores de I de las tres partes.