CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO - Procedimiento para dibujar el círculo de Mohr - Part 1

Procedimiento para dibujar el círculo de Mohr

CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO - II

EI círculo de Mohr se dibuja en un sistema de ejes perpendiculares con el esfuerzo cortante, r, marcado en el eje vertical y el esfuerzo normal, o: en el eje horizontal, como se muestra en la figura 10 16, La convención siguiente se usa en este libro:

El procedimiento descrito a continuación se puede usar para dibujar el círculo de Mohr. Los pasos 1-7 se muestran en la finura 10-16. El elemento sometido a esfuerzo completo Jal como aparece en la tisuria 10-1 es tobase de este ejemplo

CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO - I

El uso de las ecuaciones (10 1) a (10-10) a menudo presenta dificultades por las numerosas combinaciones posibles de los signos de los términos cr„ ou T„ y , Además, las dos raíces de la raíz cuadrada y el hecho de que la función tangente inversa puede producir ángulos en cualquiera de los cuatro cuadrantes presentan dificultades.

 Afortunadamente, existe un auxiliar "milico, llamado círculo de MOHR, que puede ayudar a resolver estos problemas. El uso del circulo de Mohr debe proprcionarle a usted una mejor comprensión del caso general de esfuerzo en tu» punto. Se puede demostrar que las dos ecuaciones (10-1) y (10 2), de los esfuerzos normal y cortante en un punto en cualquier dirección se pueden combinar y ordenar en la forma de la ecuación de un circulo. Presentado por primera vez por Otto Mohr en 1895. el circulo permite un cálculo rápido y exacto de:

1. Los esfuerzos principales máximo y mínimo [ecuaciones (10-5) y 10-6)]
2. El esfuerzo córlame máximo [ecuación (1 0-9)]
3. Los ángulos de orientación del elemento sometido al esfuerzo principal y del elemento sometido al esfuerzo cortante máximo [ecuaciones (10 4) y (10 S)]
4. Hl esfuerzo normal que existe junto con el esfuerzo cortante máximo sobre el elemento sometido al esfuerzo cortante máximo [ecuación (10-10)
5. La condición de esfuerzo en cualquier orientación del elemento sometido a esfuerzo (ecuaciones (10-l)y (10-2)

ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO - II

en este caso» se debe verificar para ver sí existe un esfuerzo normal en el elemento sometido al esfuerzo cortante máximo. Al sustituir el valor de 0de la ecuación (10-8) en la ecuación (10 I )del esfumo normal general se obtiene: Esfuerzo normal U^ que actúa en el elemento sometido a esfuerzo cortante máximo

Esta es la formula que da el promedio de los esfuerzos normales iniciales, O y O2 por consiguiente, se puede concluir
En el elemento en el que ocurre cl esfuerzo cortante máximo también habrá un esfuerzo normal, igual al promedio de los esfuerzos normales iniciales.

ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO - I

Se puede usar la misma técnica fura determinar el esfuerzo cortante máximo trabajando por medio de la ecuación (10 2). Diferenciando con respecto a 0, y haciendo que. el resultado sea igual a cero se obtiene:

Obviamente, el valor de O de la ecuación (10-8)es diferente del de la ecuación 10-4 De hecho, se verá que los valores están siempre a 45° uno del otro. La figura 10-15 muestra el triángulo rectángulo com el que se pueden determinar sen 2 y cos 2 tal como se hizo en la figura 10-15. Sustituyendo estos valores en la ecuación 10-2 se obtiene el esfuerzo cortante máximo.

ESFUERZOS PRINCIPALES - III

Sustituyendo en la ecuación (10-1) y simplificando se tiene:

En el elemento en el que actúan los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante

ESFUERZOS PRINCIPALES - II

Si se sustituye el valor de O definido por las ecuaciones (10-3) (10-4)en la ecuación (10-1), se deriva una ecuación para el esfuerzo normal máximo que actua en el elemento. Además, se deriva la ecuación para el esfuerzo normal minimo. Estos dos esfuerzos se llaman ESFUERZOS PRINCIPALES, usando O para denotar el ESFUERZO PRINCIPAL MAXIMO y para denotar el esfuerzo principal mínimo. 

Nótese en la ecuación (10-1) que se requieren los valores de sen 2 y cos2 La figura 10-14 es un auxiliar gráfico para obtener las expresiones de estas funcione. El triángulo rectángulo tiene los catetos apuestos y adyacentes definidos por los términos de la función tangente de la ecuación 10-3.

FIGURA 10 - 14

ESFUERZOS PRINCIPALES - I

En el diseño y en el análisis del esfuerzo, con frecuencia se requieren los esfuerzos minimos para garantizar la seguridad del miembro de carga. Se puede usar la ecuación para calcular el esfuerzo normal máximo si se sabe a qué ángulo ocurre 0 Por el estudio del cálculo, se sabe que el valor del ángulo 0 al que ocurre el esfuerzo normal máximo o minimo se puede determinar diferenciando la función y haciné resultado igual a cero y luego resolviendo para Diferenciando la ecuación (10-1)se obtiene:

Esfuerzo cortante, r^. que actúa paralelo al plano de corto.

Ahora, se desarrollará la ecuación del esfuerzo cortante. que actúa paralelo al plano de corte y perpendicular a . De nuevo, recurriendo a las figuras 10-12 y 10-13. se pueden sumar las fuerzas que actúan en el elemento en forma de cuña en la dirección v

Esfuerzo normal en la dirección u, o - Part 3

La ecuación (10-1 ) se puede usar para calcular el esfuerzo normal en cualquier dirección siempre que la condición de esfuerzo en alguna dirección, indicada por lo ejes x y y, se conozca.

Esfuerzo normal en la dirección u, o - gráfica 2

Esfuerzo normal en la dirección u, o - Part 2

También se deben considerar los esfuerzos que actúan en la cara inclinada

Esfuerzo normal en la dirección u, o - Gráfica

Esfuerzo normal en la dirección u, o - Part 1

Se visualiza un parte en forma de cuña del elemento inicial como se muestra en la figura 10-12. Nótese como se localiza el angulo 0 El lado AB es el lado izquierdo original del elemento inicial cuya altura es H. la base de la cuña, el lado BC, es sólo una parte de la base del elemento inicial, donde la longitud queda determinada por el angulo 0

Estas longitudes son importantes porque ahora se van a Considerar todas las fuerzas que actúan en la cuña. Como fuerza es el producto Lie esfuerzo por área, se tiene que conocer el área sobre la que actúa cada uno de los esfuerzos. Por principio de cuentos a, actúa en tenía la cara izquierda de la curta cuya área es h2. Recuérdese que el peralte de la cuña perpendicular al papel también es H. Por tanto;

ECUACIONES PARA DETERMINAR ESFUERZOS EN CUALQUIER DIRECCIÓN

El elemento sometido a esfuerzo inicial analizado en la sección 10-4 estaba orientada en una dirección conveniente con respecto al miembro que se estaba analizado. Los modos de esta sección permiten calcular los esfuerzos en cualquier dirección y calcular esfuerzos normales máximos y el esfuerzo cortante máximo de manera d La figura 10-11 muestra un elemento con los ejes ortogonales u y v el elemento inicial, de tal modo que el eje « forma un ángulo 0 con respecto al eje x dado. En general, habrá un esfuerzo normal au y un esfuerzo cortante tVi actuad ficie inclinada AC. El desarrollo que sigue producirá las ecuaciones esfuerzos. Antes de seguir adelante, nótese que la figura 10-11 (a) muestra sólo dos dimensiones de un elemento que en realidad es un cubo tridimensional. La parte (b) muestra el cubo completo con la dimensión h en cada lado.

Ejercicio 1 - CREACIÓN DEL ELEMENTO SOMETIDO A ESFUERZO INICIAL - Part 4

Comentarios 

Los esfuerzos flexionante y cortante se muestran en el elemento K en la figura 10 -10 Es probable que éste sea el punto donde ocurre el esfuerzo máximo combinado, el cual so analizará más adelante en esté capílulo En un punto en un lado de la barra sobre el eje y, existirá un esfuerza cortante mayor porque el esfuerzo cortante torsional cortante vertical máximo producido por flexión Pero el esfuerzo flexionante en dicho lugar es coro, Eso elemento también debe ser analizado.

Ejercicio 1 - CREACIÓN DEL ELEMENTO SOMETIDO A ESFUERZO INICIAL - Part 3

Ejercicio 1 - CREACIÓN DEL ELEMENTO SOMETIDO A ESFUERZO INICIAL - Part 2

Ejercicio 1 - CREACIÓN DEL ELEMENTO SOMETIDO A ESFUERZO INICIAL - Part 1

EL ejemplo mostrado a continuación incluye cálculos ilustrativos do los valores de los esfuerzos mostrados en la figura 10-10.

Ejemplo La figura 10-6 muestra una palanca en forma de L que soporta una carga dirigida haca 10 1 abalo en su extremo Calculo la condición do esfuerzo que existe en un punto de la cara superiror de la palanca corea del apoyo empotro Sea P = 1500 N. a * 150 mm b=300 mm y D= 30 mm- Muestre la condición do esfuerzo en un elemento

CREACIÓN DEL ELEMENTO SOMETIDO A ESFUERZO INICIAL - gráfica 2

FIGURA 10 – 7 distribucional del esfuerzo cortante em uma viga

CREACIÓN DEL ELEMENTO SOMETIDO A ESFUERZO INICIAL - gráfica 1

FIGURA 10-6 Distribución del esfuerzo cortante torsional en una flecha circular sólida

CREACIÓN DEL ELEMENTO SOMETIDO A ESFUERZO INICIAL -

La figura 10-9(b) muestra al segmento más largo como un diagrama de cuerpo libre. Al frente, la fuerza y el par de torsión T son las reacciones a la fuerza al momento que actúan en el extremo izquierdo del segmento coito en (a). Por lo tanto, en (aparte de atrás, debe haber las reacciones Mf P y 7" para mantener el equilibrio. La barra se ve sometida a una condición de esfuerzo combinado con los siguientes tipos de esfuerzos: 

Esfuerzo flexionante causado por el momento flexionante 

Esfuerzo cortante lorsional causado por el par de torsión 

Esfuerzo cortante causado por la fuerza cortante veri i cal Al revisar las figuras l(M, ICM> y 10-7. se concluye que uno de los puntos donde el esfuerzo probablemente alcanza su valor máximo se localiza en la cara superior del Segmento largo, cerca del apoyo. Llamado elemento K en la figura 10-9 (b)se vería sometido al esfuerzo de tensión máximo y al esfuerzo cortante torsional máximo. Pero el esfuerzo cortante vertical sería cero por estar en la cara externa retirado del eje neutro. El elemento K está sometido entonces a un esfuerzo combinado, como se ilustra en la figura 10-10 El esfuerzo normal de tensión,O, actúan paralelo al eje x a lo largo de la cara superior de la barra. El par de torsión aplicado tiende a producir un esfuerzo cortante ♣, en la dirección y negativa en la cara en dirección hacia atrás. Juntos crean un par cortante ♣ que producen un par en sentido horario en las demás caras.

CREACIÓN DEL ELEMENTO SOMETIDO A ESFUERZO INICIAL - Gráfica 2

FIGURA 10-5 DISTRIBUCION del esfuerzo cortante en el caso de cortante en el caso directo

CREACIÓN DEL ELEMENTO SOMETIDO A ESFUERZO INICIAL - Gráfica 1

FKJIIKA 10- 4 distribución del esfuerzo normal en el caso de flexión

CREACIÓN DEL ELEMENTO SOMETIDO A ESFUERZO INICIAL

Un objetivo impórtenle de este tema es desarrollar relaciones con las que se puedan determinar los esfuerzos principales máximas y el esfuerzo cortante máximo. Antes de que esto se pueda hacer, es necesario conocer el estado de esfuerzo en un punto de interés en alguna orientación En esta sección se demuestra la determinación de la condición de esfuerzo inicial medidle cálculo directo con las fórmulas de tos de los esfuerzos básicos. 

 La figura 10-8 muestra una palanca acodada empotrada en una superficie rígida con una carga P dirigida hacia abajo aplicada en su extremo libre. El segmento corto al frente de la palanca se carga como si fuera una viga en voladizo, como se muestra en la figura 10-9 con el momento en su extremo izquierdo resistido por el otro segmento de la palanca.

DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO CREADA POR ESFUERZOS BÁSICOS (Grafica)- III

Las figuras 10-5, 10-6 y 10 - 7 ilustran .res casos en que se produce cortantes junto con las distribuciones de esfuerzo y los elementos sometidos a estos tipos de esfuerzo, A continuación se dan las fórmulas principales utilizadas para calcular esfuerzos cortantes

FIGURA 10-3 Distribución del esfuerzo normal en el caso de comprensión directa

DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO CREADA POR ESFUERZOS BÁSICOS (Grafica)- II

DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO CREADA POR ESFUERZOS BÁSICOS - I

Las figuras 10-2, 10-3 y 10-4 muestran esfuerzos de tensión directa, compresión directa y flexión en los que se desarrollaron esfuerzos normales. Es importante conocer la distribución del esfuerzo en el miembro como se muestra en las figuras. También se muestran elementos sometidos a estas clases de esfuerzos. A continuación se dan las fórmulas principales para calcular el valor de estos esfuerzos.

ELEMENTO SOMETIDO A ESFUERZO - II

Además, puede haber esfuerzos cortantes actuando a lo largo de las caras del elementó como si cada una estuviera siendo desprendida del material adyacente. recuerde sique cuando se analizaron los esfuerzos cortantes se vio que en cualquier elemento en equilibrio existen cuatro cortantes, de magnitud igual En dos caras opuestas cualquier ra los esfuerzos cortantes actúan en direcciones opuestas, por lo que se crea un /«arque tiende a girar el elemento. Por tanto, debeexistir un par de esfuerzos cortantes en las caras adyacentes que producen un par opuestamente dirigido para que el elemento esté en equilibrio. Cada par de cortantes se designará con una notación de subíndice doble. Por ejemplo, t,, se refiere al esfuerzo cortante queaclúa perpendicular al eje.r y paralelo al eje V. Por otra parte, t,, actúa perpendicular al ejev y paralelo al eje*. En lugar de establecer una con vención para los signos de los esfuerzos cortantes, se hará referencia a ellos como horarios (H) {el sentido del movimiento de las manecillas del reloj oanlihorarios (AH) (el sentido contrario del movimiento de las manecillas del reloj), según el sentido en que tiendan a girar al elemento sometido a esfuerzo.

ELEMENTO SOMETIDO A ESFUERZO - I

Fn general, esfuerzo combinado se refiere a los casos en que dos o más tipos de esfuerzo actúan en un punto dado al mismo tiempo. Los esfuerzos componentes pueden ser a normales (es decir, de tensión o compresión) o esfuerzos cortantes. Cuando un miembro de carga se somete a dos o más clases diferentes de esfuerzos la primera tarea es calcular el esfuerzo provocado por cada componente, A continuación se toma una decisión sobre qué punto del miembro soporta la combinación de esfuerzos más elevada y se completad análisis del esfuerzo combinado de esfuerzos casos especiales, se desea conocer la condición de esfuerzo dado sin cuidado de si o no es el punto de esfuerzo máximo. Ejemplos serian los punios cerca de soldaduras en una estructura fabricada, a lo largo de la veta de un miembro de madera, o cerca del punto de conexión entre miembros.

Con el punto de interés identificado, se determina, de ser posible, la condición de esfuerzo en dicho punto con las relaciones clásicas para el análisis de esfuerzo presentadas en este libro. En ocasiones, por la complejidad de la geometría del miembro o el patrón de carga, no se puede realizar un análisis de esfuerzo confiable completo por medio de cálculos. En ocasiones puede utilizarse un análisis de esfuerzo experimetal el que medidores de deformación, modelos foto elásticos o revestimientos sensibles a la deformación dan datos de manera experimental. Asimismo, con la ayuda de técnicas de análisis de esfuerzo por elemento finito basadas en la computadora, se puede determinar la condición de esfuerzo.