CONCEPTO DE MOMENTO DE INERCIA - II

De este modo, el lector puede deducir que si la mayor parte del área se coloca lejos del eje centroidal, el momento de inercia tendrá a ser elevado. La fórmula matemática del momento de inercia, I, se desprende de la definición. Un método que se aproxima implica el proceso de sumatoria, indicando por

CONCEPTO DE MOMENTO DE INERCIA - I

En el estudio de la resistencia de materiales. la propiedad de momento de inercia es una indicación de la rigidez de una viga, es decir, resistencia a deflexionarse cuando se somete a cargas que tienden a flexionarla deflexión de una viga es inversamente proporcional al momento de inercia. 

Uso eficiente de material, colocar toda la materia alejado de eje centroidal que resulta práctico. Esta observación ser basa en la definición de momento de inercia que aquí se da

  El momento de inercia de un área con respecto a un eje particular se define como la suma de los proyectos obtenidos al multiplicar cada elemento infinitesimal de ella por el cuadro de su distancia

Centroide de formas complejas - III

Centroide de formas complejas - II

Éste se expresa matemáticamente como:

Centroide de formas complejas - I

Se puede considerar que la mayoría de las formas complejas están compuestas de varias formas simples. Esto facilita la localización del centroide, como más delante se demostrará Otro concepto que ayuda en la localización de centroides es que si el área dispone de un eje simetría, el centroide se localizará en dicho eje. Algunas figuras complejas cuentan con dos ejes de simetría y por consiguiente, el centroide se localiza en la intersección de estos dos ejes En los casos en que no hay dos ejes de simetría, se usa el método de las áreas compuestas para localizar el centroide. Por ejemplo, considérese el área que ilustra la figura 7-3. Tiene un eje vertical de simetría pero no uno horizontal. Se considera que tales áreas se componen de dos o más áreas simples en las cuales se puede localizar el centroide aplicado el siguiente principio: 

Este principio utiliza el concepto de momento del área, es decir, el producto del área por la distancia de un eje de referencia al centroide del área. El principio establecer

Concepto de centroide – Formas simples

El centroide de una área es el punto respecto al cual el área se podría equilibrar soponiendo que se apoya en dicho punto. La palabra se deriva de centro y se puede considerar como el centro geométrico de un área. El en caso de cuerpos tridimensionales, el termino centro de gravedad o centro de masa se emplea para confundir. En el caso de áreas simples, tales como circulo, cuadrado, rectángulo y triángulo la ubicación del centroide es fácil de visualizar La figura 7-1 muestra las ubicaciones. 

Centroides y momentos de inercia de áreas

Objetivos

En capítulos anteriores se aprendió a determinar el valor de las fuerzas cortantes y momentos flexionantes en todos los puntos de vigas como fundamento para el cálculo de esfuerzos cortantes flexionantes de capítulos posteriores. Este capítulo continúa esta pauta al presentar las propiedades del perfil de la sección transversal de la viga, necesarias también para completar el análisis de esfuerzos y deformaciones de vigas. Las propiedades del área de la sección transversal de vigas que son de interés en este caso el controide y el momento de inercia con respecto al eje controidal. Algunos lectores ya han manejado estos temas gracias al estudio de la estática. 

Para ellos este capítulo constituirá un valioso repaso y una adaptación del tema a las aplicaciones de interés en la resistencia de materiales. Para aquellos que no han estudiado controides y momentos de inercia, los conceptos y las tecinas que se exponen en te capítulo les permitirán resolver los problemas de análisis de vigas incluidos en este libro y en muchas situaciones reales de diseño. Después de determinar el estudio de este capítulo, el lector será capaz de: 

1. Determinar controide 

2. Localizar el controide de formas simples por observación 

3. Calcular la localización del controide de formas complejas tratándose como compuestas por dos o más figuras simples 

 4. Analizar perfiles tic vigas compuestas integradas por dos o más perfiles estructurales estándar para determinar la localización del centroide y el momento de inercia resultantes. 

5. Reconocer que tipos de perfiles son eficientes en (unción de su capacidad de producir un gran momento de inercia en relación con la cantidad de área de su sección transversal.

Viga simplemente apoyada con una carga distribuida variable - III

Viga simplemente apoyada con una carga distribuida variable - II

La pendiente A, se calcula con la razón del cambio de W a lo largo de una distancia dada X. al utilizar la mitad del largo de la viga se obtiene:

 

Viga simplemente apoyada con una carga distribuida variable - I

El objetivo es escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerzas cortante y momento flexionante de la viga y carga como se muestra en la figura 6-47, seguimiento las instrucciones dadas en esta sección. La figura 6-6 ilustra cómo se crea este patrón de carga Por la simetría de la carga, las dos reacciones son de igual magnitud. Cada una es igual al área bajo una mitad del diagrama de carga. Si tal área se descompone en una rectángulo de 0.2kN/m de altura por 2.30 de ancho y un triangulo de 1.0kN/m de altura por 2.30 de ancho, se calcula:

  En la figura 6- 4? se muestran las formas generales de los diagramas de fuer/a cortante y momento flexionante. Se ve que la curva de la fuerza cortante cruza el eje cero a la mitad de la viga en* 2.30 m. Por consiguiente, el momento máximo flexionante ocurre en dicho punto. Un principio, la magnitud del momento máximo flexionante es igual al área bajo la curva de la fuerza cortante entre los puntosa y B. Pero el cálculo de esa área es difícil porque la curva es de segundo grado y no comienza en su vcrticc. Por lo tanto no se pueden usar las fórmulas del apéndice A--1 de manera directa, Por eso se desarrollan las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. En primer lugar escríbase la ecuación de la carga que actúa en la mitad izquierda de la viga desde A hasta //. La razón de la carga comienza como -20 kN/m (eon dirección hacia abajo) y se incrementa a 1,20 kN/m. Asimismo, tal como se hizo en el ejemplo precedente, conviene dibujar el diagrama de carga como si fuera una gráfica, como se muestra en la figura 6- 48, A continuación se escribe la ecuación de la línea recta como sigue: 

Viga voladizo con una carga distribuida variable - IV - Resumen

En resumen, las ecuaciones de los diagramas de carga, fuerza cortante y momento flexionante de la viga que ilustra la figura 6-45 son:

Viga voladizo con una carga distribuida variable - III

Viga voladizo con una carga distribuida variable - II

La pendiente, A se evalúa con la razón del cambio de W a lo largo de una distancia dada X. si se usa toda la longitud de la viga se obtiene
 

Viga voladizo con una carga distribuida variable - I

El objetivo es escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante correspondiente a la viga según la figura 6 -45, siguiendo las instrucciones dadas en esta sección. Nótese que la viga y la carga son las mismas que se mostraron en la figura 6-36 En este ejemplo habrá sólo un segmento, que comprende toda la longitud de la viga porque las curvas de la carga, la fuerza cortante y el momento flexionante son continuas. 

Primero se escribe una ecuación de la carga que varía linealmente desde una razón de -200 bl/pie en el extremo izquierdo A hasta cero en el punto B donde X = 8 pies. Es de hacerse notar que la carga se muestra al actuar sobre la vida con dirección hacia abajo conforme a la conveniencia usual. Pero la carga con dirección hacia abajo es en realidad negativa. Como ayuda para escribir la ecuación, se podría dibujar el diagrama de carga como una gráfica de carga contra la posición X, como se muestra en la figura 6-46. Luego se escribe la ecuación de la línea recta

 

Viga simplemente apoyada con una carga parcial uniformemente distribuida. - IV

Más adelante usará este valor para determinar el momento flexioanate en D. El paso 9 flexionanate de las instrucciones se usa para determinar las ecuaciones del diagrama del momento fexionante. primero es el segmento AB:

Viga simplemente apoyada con una carga parcial uniformemente distribuida. - III

La ecuación se comprueba sustituyendo x=6m y calculando V

Viga simplemente apoyada con una carga parcial uniformemente distribuida. - II

Los puntos de interés se designaron como A en el apoyo izquierdo, B en el punto dónde termina la carga distribuida y C en el apoyo derecho. Se desarrollarán ecuacuines para los dos segmentos AB y BC, en donde AB comprende desde x=O hasta x=6m

Viga simplemente apoyada con una carga parcial uniformemente distribuida. - I

El objetivo es escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flextonante de la viga y el patrón de carga que se muestran en la figura 6^í, siguiendo las instrucciones dadas en esta sección. Nótese que ésta es la misma viga y patrón de carga de la figura 6-31

Viga simplemente apoyada con una carga concentrada. - III

En suma, las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante son:

Viga simplemente apoyada con una carga concentrada. - II

Por lo tanto, C= O . la ecuación final se escribe como:

Viga simplemente apoyada con una carga concentrada. - I

El objetivo es escribir las licuaciones de los diagramas de fuerza cortante y memento flexionante de la viga y patrón de carga como se muestran en la figuro 6- 43, siguiendo las instrucciones dadas en esla sección.

ANÁLISIS MATEMÁTICO DE DIAGRAMAS DE VIGAS

En la mayoría de los problemas prácticos, la preparación de los diagramas de carga, fuerza cortante y momento felxionante con las técnicas expuestas con anterioridad en Este capitulo son propias y convenientes. Se puede analizar una amplia variedad de tipos de vigas y cargas con suficientes detalle para lograr un diseño lógico de las vigas que garantice la seguridad. Lo que sigue es una serie de instrucciones sobre cómo derivar ecuaciones que definan por completo la carga, la fuerza cortante y el momento flexionante como función de la posición.

Viga con un brazo en forma do L - IV

valor d-A momento aplicado, 5 24 kNm y el valor máximo de 11.02 kNm. La convención que se utilizó en este caso es:

Viga con un brazo en forma do L - III

Por tanto:

Viga con un brazo en forma do L - II

En la figura 6-41 (b) las fuerzas y tos momentos que actúan en D tienen tos mismos valores pero direcciones opuestas a los que actúan en la parte (a) de la figura. Las condiciones de equilibrio vertical y horizontal muestran las fuerzas que actúan en B igua

Viga con un brazo en forma do L - I

La figura 6-40 muestra un brazo en forma de L que se extiende bajo la viga principal que soporta una fuerza inclinada. La viga principal

tan Sólo se apoya en A y C El apoyo C tiene un diseño pora que reaccione a cualquier (berza horizontal en desequilibrio. El objetivo es dibujarlos dingramas de fuerza cortante y momento flexionando completos de la viga principal y los diagramas de cuerpo libre de todas las partes del brazo. En este caso conviene usar tres diagramas de cuerpo libre: uní» para l¡, parte honzontal del brazo, uno para la parte vertical del brazo y uno para la viga principal, Pero primero conviene descomponer la fuerza aplicada en sus componentes vertical y horizontal, como se indica por medio de los vectores de puntos en el extremo del brazo. La figura 6-41 muestra los tres diagramas de cuerpo libre. Si se comienza con la parte DH expuesta en (a), las fuerzas aplicadas en R deben estar equilibradas por las fuerzas que actúan en Den dirección opuesta para que haya equilibrio en las direcciones vertical y horizontal, equilibrio rotacional debe originarse por un momento interno en A Al sumar los momentos con respecto al punto se demustra que:

Poste con un brazo extendido.

El objetivo del análisis es dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante completos de los componentes horizontal y vertical de la estructura poste/brazo expuesta en la figura 6-37. El primer paso consiste en "desprender" el brazo del poste en el codo a 90°. La figura 6-38 muestra el brazo horizontal como diagrama de cuerpo libre con la carga/\ aplicada en su extremo derecho. El resultado es similar al de la viga en voladizo

DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE DE COMPONENTES DE ESTRUCTURAS

Los ejemplos que Hasta ahora se consideraron fueron de vigas generalmente recias con todas las cargas transversales, es decir, cargas que actúan perpendiculares al eje principal de la viga. Muchos elementos de máquinas y estructuras son más complejos, con componentes alejados de la parte principal en forma de viga. Por ejemplo, considérese el poste simple con un brazo extendido como el que se muestra en I a figura 6-37 que consta de un componente vertical y uno horizontal, El poste vertical tiene su base firmemente sujeta. En el extremo del brazo horizontal extendido, se aplica una carga con dirección hacia abajo. Un ejemplo de semejante carga es un sistema de sustentación de una serial de carretera, Otro seria el poste de sustentación de una canasta de baloncesto en el que la fuerza con dirección hacia abajo podría ser un jugador colgado del aro después de una clavada. Una aplicación en el disefio mecánico es una ménsula que soporta piezas de máquina durante el procesamiento. En esas condiciones, conviene anal i zar el elemento de una estructura o máquina al considerarse cada elemento aparte y al trazar un diagrama de cuerpo libre de cada uno. F:n las juntas entre piezas, una pieza ejerce fuerzas y momentos en la otra. Con este método, se puede diseñar cada pieza con base en su patrón de carga, si se utilizan los principios básicos del análisis de vigas de este capítulo y de los restantes,

Vigas con cargas distribuidoras linealmente variables - IV

El diagrama de momento flexionante se traza al observar en primer lugar que M =2133 lb pie. La curva tiene una pendiente positiva digamos un tanto grande en A debido al gran valor positivo de la fuerza cortante en dicho punto. Luego, la pendiente disminuye de manera progresiva, conforme aumenta la distancia hasta cero en el punto B. el hecho de que el valor del momento flexionante sea igual a cero en B se puede demostrar, también fórmulas para calcular el área bajo una curva de segundo grado del tipo expuesto en el diagrama de fuerza cortante. Es decir

Vigas con cargas distribuidoras linealmente variables - III

De la fuerza cortante no es una línea recta porque el régimen de carga disminuye de A ha cia B. en B el régimen de carga es cero, por lo que el valor de la fuerza cortante en B es cero. La pendiente de la curva de fuerza cortante en cualquier punto es igual al régimen de carga en el punto correspondiente del diagrama de carga. Así pues, la curva de la fuerza cortante comienza en A con una pendiente negativa relativamente grade, la cual disminuye de manera progresiva a medida que la curva se aproxima a . Esta curva por lo general se llama curva de segundo grado porque su valor varía con el cuadrado de la distancia X

Vigas con cargas distribuidoras linealmente variables - II

El momento flexionantc en el apoyo, al que se le llama MAf debe ser igual al momento de toda lacaFga aplicada a la derecha de A. Este se determina al considerar que la resultante actúa en el centroide de la carga distribuida. En la curva de carga de forma triangular, el centroide está a 1/3 de la longitud de la viga a partir del punto A. SÍ esta distancia se designa comojr, cntonccs:

Los valores R, $00 Ib y \t,r 2133 Ib-pie so» los valores máximos de la fuerza cortante y el momento flex ionante, respectivamente. En la mayoría de los casos, ése es el objetivo del análisis. De ser así, el análisis se puede darpor terminado. Pero, si se desean los diagramas de fuerza cortante y el momento ílcxionantc, se pueden trazar con base en los principios que se plantearon con anterioridad en este capí- tulo. L.a figura 6-36 muestra los resultados. El diagrama de fuerza corlante parte de.-f con el valor de 800 Ib, igual a la reacción R4. El valor de la fu erza cortante di sm t nuye entonces en puntos a la derecha de A conforme se aplican cargas adicionales. Nótese que la curva

Vigas con cargas distribuidoras linealmente variables - I

Las figuras 6-5 y 6-6 de la sección 6-2 ilustran dos ejemplos de vigas se sometieron a cargas distribuidas linealmente variables. A continuación se mostrara el método para dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionanate de tales vigas y la determinación de los valores máximos tic la fuerza cortante y el momento Ilesióname. íin b práctica éstos son los objetivos principales. Másadcbnic, en la sección 6- ge plante.I LUÍ método matemático queda una definición máscomplel.i de la forma de któdiagramas de fuer/a cortante y momento Ilusionante. Recórrase ahora a la figura 6 35 que muestra el diagrama de carga de la viga en voladizo de ln figura 6 lil régimen de carga varia linealmente desde w - ÍWpic (hacia abajo) en el apoyo A hasta w cero en el extremo derecho H. Esta curva de linca recta se conoce como cuma de fWvnergtufo porque la carga varia de modo directo con la posición, .v, en la viga Con una carga como ésa. la reaceiónen/4, y que se llama RA, es la resultante de la carga distribuida total, la cual se determina ni calcular el área bajo la curva de forma triangular. Es decir:

Fuerzas cortantes y momentos flexionantes en Vigas en Voladizo - IV

(curva 5 en la figura 6-32) el cambio del momento entre Ay B es igual al área baja la curva de la fuerza cortante entre Ay B. el área es:

Fuerzas cortantes y momentos flexionantes en Vigas en Voladizo - III

Fuerzas cortantes y momentos flexionantes en Vigas en Voladizo - II

Considérese la viga en voladizo que muestra la tiguru 0-33. bn el ejemplo se demostró que las reacciones en e.1 apoyo A son una fuerza vertical R4 = kN y un mo- mento M, = 70 kN • m. listos valores son los valores de la fuerza cortante y el momento flexionantcenel extremo izquierdo de la viga. De acuerdo con la convención de signos adoptada, la fuerza de reacción H^c s positiva y el momento MÁ en sentido contra no al de las manecillas del reloj es negativo y dan los valores iniciales de los diagramas de fuerza cortante y momento ílex lonante que muestra la figura 6-34 Las reglas que con anterio- ridad se desarrollaron para el trazo de diagramas de fuerza cocíante y momento tkxio- liante se pueden usar entonces para completar los diagramas. La luerai cortante disminuye en forma de línea recta de 64 kNa-l kNenct intervalo entrevi y B. Nótese que el cambio de la fuerza cortante es igual a la magnitud de la carga distribuida, 60 kN. La fiierza cortante permanece constante entre H y tdonde no hay cargas aplicadas I .a carga de 4 kN en C hace que la curva regrese a cero. Hl diay rama de momento flexionante comienza en -70 kN m debido ;ill momento de reacción Mt. Entre los puntos A y fí. la curva tiene una pendiente positiva decreciente

Fuerzas cortantes y momentos flexionantes en Vigas en Voladizo - I

El tipo de apoyo de una viga en voladizo hace que el análisis de sus fuerzas constantes y momentos flexionantes sea algo diferente de las vigas simplemente apoyadas. Las diferencia mas notable es que el apoyo de la viga es fijo y por tanto , puede resistir momentos. Por eso, en el extremo fijo de la viga, el momento flexionanate no es cero, como en el caso de vigas simplemente apoyadas. De hecho, el momento flexionanate en el extremo fijo de la viga por lo general es el máximo.

Diagramas momento flexionanto para cargas distribuidas. - VII

Considérese estas reglas con aplicación a la viga de la figura 6-31. Es obvio que la regla I se satisface, puesto que el momento en cada extremo es cero. Las regla 2 se puede usar para verificar los puntos trazados en el diagrama de momentos a los intervalos de 2m. para los primeros 2m, el área bajo la curva de fuerza cortante se compone de un rectángulo y un triangulo por lo tanto el área es:

Diagramas momento flexionanto para cargas distribuidas. - VI

Diagramas momento flexionanto para cargas distribuidas. - V

Diagramas momento flexionanto para cargas distribuidas. - IV

Con un método similar en los puntos a 4m, 6m y 8m del extremo izquierdo de la viga, como se muestra en la figura 6-3 b, c, d se obtendría

Recuérdese que en los extremos dela viga el momento flexionante es cero. Ahora ya se tienen varios puntos que se pueden marcar en un diagrama de momento flexionante el diagrama de fuerza cortante, como se muestra en la figura 6-31. Primero examínese la sección de la viga donde actúa la carga distribuidora, los primeros 6m. al unir los puntos correspondientes que se marcaron al momento flexionante para una carga distribuida

Diagramas momento flexionanto para cargas distribuidas. - III

El símbolo M, indica el momento flexionante que actúa en el punto a 2m del extremo izquierdo