Suma de vectores cartesianos

La suma (o resta) de dos o más vectores se simplifican considerablemente si los vectores se expresan en términos de sus componentes cartesianas.
Por ejemplo, si A Ax i Ay j Azk y B Bxi By j Bzk, figura 2-29, entonces el vector resultante, R, tiene componentes que representan las sumas escalares de las componentes i, j, k de A y B, es decir,

Vectores cartesianos - Dirección de un vector cartesiano (II)

Vectores cartesianos - Dirección de un vector cartesiano (I)

La dirección de A se definirá mediante los ángulos directores coordenados a (alfa), b (beta) y g (gamma), medidos entre la cola de A y los ejes x, y, z positivos, dado que se localizan en la cola de A, figura 2-26. Observe que independientemente de hacia dónde esté dirigido A, cada uno de esos ángulos estará entre 0° y 180°.
Para determinar a, b y g, considere la proyección de A sobre los ejes x, y, z, figura 2-27. Con referencia a los triángulos rectángulos azules mostrados en cada figura, tenemos

Vectores cartesianos - Magnitud de un vector cartesiano.

Siempre es posible obtener la magnitud de A si está expresado en forma de vector cartesiano. Como se muestra en la figura 2-25, a partir del triángulo rectángulo azul,

Vectores cartesianos - Representación de un vector cartesiano.

Como las tres componentes de A en la ecuación 2-2 actúan en las direcciones positivas i, j y k, figura 2-24, podemos escribir A en forma de vector cartesiano como

Hay una clara ventaja al escribir los vectores de esta manera. Al separar la magnitud y la dirección de cada vector componente se simplificarán las operaciones de álgebra vectorial, particularmente en tres dimensiones.

Vectores cartesianos - Vectores unitarios cartesianos.

En tres dimensiones, el conjunto de vectores unitarios cartesianos i, j, k, se usa para designar las direcciones de los ejes x, y, z, respectivamente. Como se indicó en la sección 2.4, el sentido (o cabeza de la flecha) de estos vectores se representará analíticamente mediante un signo de más o menos, dependiendo de si están dirigidos a lo largo de los ejes x, y o z positivos o negativos. En la figura 2-23 se muestran los vectores unitarios cartesianos positivos.

Vectores cartesianos - Componentes rectangulares de un vector

Un vector A puede tener una, dos o tres componentes rectangulares a lo largo de los ejes coordenados x, y, z, dependiendo de cómo esté orientado con respecto a los ejes. En general, cuando A está dirigido dentro de un octante del marco x, y, z, figura 2-22, entonces, mediante dos aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo, podemos dividir el vector en componentes como A A¿ Az y luego A¿ Ax Ay. Al combinar estas ecuaciones, para eliminar A¿, A se representa mediante la suma vectorial de sus tres componentes rectangulares.
A Ax Ay Az (2-2)